Частные случаи рядов Фурье

Достаточные условия разложения в ряд Фурье

Выведенные нами формулы дают необходимые условия разложения функции в ряд Фурье.

Определение. Функция y=f(x) называется кусочно-гладкой на интервале [a,b], если интервал [a,b] можно разбить на конечное число кусков, на каждом из которых функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема, а в точках разрыва имеются разрывы первого рода. Таким образом функция имеет не более чем конечное число точек разрывов первого рода (скачков).

Теорема. Пусть функция y=f(x) периодична с периодом 2p и кусочно-непрерывна на интервале периодичности. Тогда функция y=f(x) разлагается в ряд Фурье, причем ряд Фурье сходится к функции в точках непрерывности, а в точках разрыва x=x₀ сходится к значению, которое равно (f(x₀-0)+f(x₀+0)) /2. (Без доказательства).

Если функция y=f(x) периодическая с периодом T, т. е. если для всех x выполняется условие

,

то для вычисления коэффициентов ряда Фурье можно взять любой отрезок [a,b] с длиной, равной величине периода. Докажем это.

Введем для третьего интеграла замену:

Тогда

Так как коэффициенты ряда Фурье являются интегралами по периоду от периодических функций, то для вычисления их можно использовать любой удобный интервал с длиной, равной периоду.

Дата добавления: 2014-01-14