Свойства определенного интеграла. I. Свойства, выражаемые равенствами

I. Свойства, выражаемые равенствами.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

.

2. Если функции f (x) и g (x) интегрируемы на , то определённый интеграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

.

Замечание: Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

Следствие:

(свойство линейности операции интегрирования).

3. Если отрезок разбит точкой С на части, то интеграл по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с).

(свойство аддитивности).

II. Свойства, выражаемые неравенствами

1. Если функция интегрируема на отрезке (a<b), то .

2. Если f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке (a<b) и удовлетворяют на нём равенству , то

(неравенства можно интегрировать, когда a<b).

Неравенство обращается в равенство, если на .

3. Если f (x) интегрируема на отрезке и a<b, то

(6)

4. Если функция f (x) интегрируема на (a<b) и существуют числа m и М такие, что во всех точках отрезка выполняется неравенство , то

.

Рис. 12.

Геометрический смысл:

(рис. 12).

Пример. Оценить интеграл: .

Так как , то .

5. Теорема о среднем для определённого интеграла.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с такая, что имеет место равенство:

(7)

Рис. 13.

Геометрический смысл. Если обе части равенства рассматривать как площади фигур, то криволинейная трапеция aABa равновелика прямоугольнику с длиной основания (b-a) и высотой f (c).

(8)

Число f (c), получаемое по формуле (8), называется средним значением функции на отрезке .

Дата добавления: 2014-01-14