Матричная форма расчета статически неопределимых систем методом перемещений

Систему канонических уравнений метода перемещений (19.6) представим в матричной форме:

rZ + R = 0. (22.21)

r – матрица коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений (22.21), или матрица реакций в наложенных связях от их смещения на величину, равную единице, в основной системе метода перемещений. Эта матрица называется матрицей внешней жесткости сооружения.

Число строк и столбцов матрицы внешней жесткости сооружения равно степени его кинематической неопределимости n_kin, т.е. матрица r – квадратная матрица. В силу теоремы о взаимности реакций матрица r симметрична. Так как система уравнений (22.21) разрешима, то определитель матрицы r не равен нулю (det r ≠ 0). Это значит, что матрица внешней жесткости является невырожденной матрицей.

Z – матрица неизвестных метода перемещений, или матрица угловых и линейных перемещений узлов сооружения от заданных внешних воздействий (силовых, температурных, кинематических).

R – матрица свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений (22.21), или матрица реакций в наложенных связях от заданных внешних воздействий в основной системе метода перемещений.

Число строк в матрицах Z и R равно степени кинематической неопределимости сооружения, а число столбцов – суммарному числу заданных независимых силовых, температурных и кинематических воздействий на сооружение.

В п. 22.2 настоящей лекции на базе теоремы о работе концевых усилий были получены матричные соотношения (22.16) и (22.20) для вычисления элементов матриц r и R. Напомним их:

Смысл элементов матриц, включенных в формулы (22.16) и (22.20) подробно изложен в п. 22.2 и 22.3 двадцать второй лекции.

Решая систему уравнений (22.21), получим матрицу неизвестных метода перемещений:

(22.22)

– матрица, обратная по отношению к матрице внешней жесткости сооружения.

где E – единичная матрица.

После подстановки соотношений (22.16) и (22.20) в матричное выражение (22.22) получим:

(22.23)

Используем принцип независимости действия сил для определения концевых усилий в элементах заданного сооружения при силовых, температурных и кинематических воздействиях:

(22.24)

m – число концевых усилий (концевых изгибающих моментов и концевых поперечных сил), определяемых при решении конкретной задачи.

Группа соотношений (22.24) в матричной форме перепишется:

(22.25)

S – матрица концевых усилий элементов заданного сооружения от внешних силовых, температурных и кинематических воздействий.

Напомним, что – это матрица концевых усилий элементов сооружения в основной системе метода перемещений от внешних силовых, температурных и кинематических воздействий, а матрица – матрица концевых усилий в основной системе метода перемещений от единичных смещений наложенных связей (см. п. 22.2).

Ранее было показано, что матрица выражается через матрицу внутренней жесткости сооружения K и матрицу перемещений концевых сечений стержней в основной системе от единичных смещений наложенных связей a (см. п. 22.2) следующим образом:

После подстановки матричных выражений (22.18) и (22.23) в матричную формулу (22.25) получим матричное соотношение для расчета стержневых систем методом перемещений

(22.26)

При силовом воздействии на сооружение, когда S = S_F, , структура матричной зависимости (22.26) сохраняется:

(22.27)

В случае температурного воздействия S = S_t, и, следовательно,

(22.28)

При кинематическом воздействии, в частности, при смещении опорных связей, матричная зависимость для определения концевых усилий в стержнях заданного сооружения аналогична матричной зависимости (22.28):

(22.29)

Проверка правильности расчета заданного сооружения методом перемещений производится на основе теоремы о работе концевых усилий. Подставив значения концевых усилий S, вычисленных по формуле (22.26), в матричное выражение (22.15), мы должны получить нулевые значения реакций в несуществующих в заданном сооружении наложенных связях. Таким образом, в общем случае внешних воздействий имеем:

(22.30)

Матричное соотношение (22.30) при силовых воздействиях перепишется:

(22.31)

В случае температурных или кинематических воздействий в матричной зависимости (22.30) следует принять S = S_t или S = S_с, . Проверочные матричные соотношения для этих видов внешних воздействий примут вид:

или

Для расчета стержневых систем методом перемещений на персональных ЭВМ может быть использована программа «METDEF», разработанная на кафедре строительной механики НГАСУ профессором В.Г. Себешевым и доцентом В.Н. Барышниковым.

Дата добавления: 2014-01-14