Понятие функции двух переменных. Область определения. График. Линии уровня

Определение. Если каждой паре значений независимых переменных (х,у), взятых из некоторой области изменения, по некоторому закону ставится в соответствие определенное значение третьей переменной z, то z называется функцией двух переменных х и у: z = f (x,y)

Например: z = ln (.

Переменные х и у называются аргументами функции z. Область D – область определения функции z. Область определения функции двух переменных – некоторая область плоскости Оху.

Рис.1. Рис. 2.

Определение. d- окрестностью точки M₀ (х₀,у₀) называется внутренняя часть круга радиуса d. с центром в точке M_0, d (M₀Р) < d. или < d..

Точка М₁ называется внутренней точкой множества D, если у этой точки есть окрестность, состоящая из точек данного множества.

Точка М₂ называется граничной точкой множества D, если любая окрестность этой точки содержит как точки принадлежащие множеству D, так и точки ему не принадлежащие (рис.2). Сама граничная точка может принадлежать множеству D, а может и не принадлежать.

Совокупность всех граничных точек множества D называется его границей.

Множество D называется замкнутым (), если оно содержит все свои граничные точки. Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними.

Множество D точек плоскости Оху называется областью, если:

1. D – открытое множество т.е. состоит только из внутренних точек.

2.Всякие две точки М₁ и М₂ÎD можно соединить непрерывной линией, все точки которой также принадлежат D (свойство связанности).

Рис. 3.

Открытая область является аналогом интервала (а,b) на прямой. Замкнутая область - аналог отрезка [ a,b ] Найдем области определения функций.

Пример1. ; .

Замкнутый круг (рис.4, а) - аналог отрезка [ a,b ].

Пример2. ;

Открытый круг (рис.4, б) - аналог интервала (a,b).

Рис. 4.

Пример3. ;

Кольцо (рис. 4, в) - аналог полуинтервала (a,b ].

Для функции y= f (x) графиком является кривая на плоскости Оху. Функция двух переменных также допускает непосредственное геометрическое истолкование. Возьмем пространственную декартову систему координат. Функция z = f (x,у) определена в области D плоскости аргументов Оху.

Выберем в области D произвольную точку М ₁ (х ₁ ,у ₁) и вычислим соответствующее значение функции z ₁ = f (х ₁ ,у ₁).

Тройку чисел (х ₁ ,у ₁, z ₁) изобразим точкой Р ₁(х ₁ ,у ₁, z ₁) в координатном пространстве Охуz. Если точку М ₁(х ₁ ,у ₁) перемещать в области определения D функции z, точка Р ₁ опишет некоторую поверхность с уравнением z = f (х,у).

Эта поверхность и служит геометрическим образом функции двух переменных, ее графиком.

Рис.5.

Пример 1. , D:; . (верхняя полусфера)

Дата добавления: 2014-01-14