Основные свойства функции распределения

1. определена при всех .

2. (то есть - неубывающая).

3. (по свойствам вероятности).

4.-5. .

Пусть - две монотонные последовательности, . Пусть событие A _n равносильно попаданию с.в. x в интервал .

Очевидно, что .

Так как , то по условию непрерывности

[ Пусть - возрастающая последовательность событий и , тогда при ]

.

Т.О. , что .

Если , то тем более , а так же .

Отсюда вытекает свойства 4-5.

6. Функция - непрерывна слева, то есть .

Пусть - любая возрастающая последовательность, сходящаяся к x.

.

По аксиоме сложения вероятностей

Ряд в правой части состоит из неотрицательных чисел и сходится к , поэтому

, что

Т.О. , кроме того , поэтому .

В силу произвольности e имеем .

Замечание: Справедлива теорема о том, что любая функция , удовлетворяющая свойствам 1-6, является функцией распределения некоторой с.в., то есть можно построить вер. пространство и ввести на нем с.в., функция распределения которой совпадет с .

Это означает, что функция распределения может рассматриваться без исходного вероятностного пространства, что часто и делают. Функция распределения – исчерпывающая характеристика с.в.

Дата добавления: 2014-01-14