Математические модели в процедурах анализа на макроуровне

Исходное математическое описание процессов в объектах на макроуровне представлено системами обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Аналитические решения таких систем при типичных значениях их порядков в практических задачах получить не удается, поэтому в САПР преимущественно используются алгоритмические модели.

Исходными для формирования математических моделей объектов на макроуровне являются компонентные и топологические уравнения.

Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойства элементов, другими словами, это уравнения математических моделей элементов.

Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируемой системы.

Каждое компонентное уравнение характеризует связи между разнотипными переменными, относящимися к одному компоненту (например, закон Ома описывает связь между напряжением и током в резисторе), а топологическое уравнение – связи между однотипными фазовыми переменными (выделяют фазовые переменные типа потенциала – например, электрическое напряжение, и типа потока – например, электрический ток) в разных компонентах.

В совокупности компонентные и топологические уравнения системы представляют собой исходную математическую модель системы.

Модели можно представлять в виде систем уравнений или в графической форме, если между этими формами установлено однозначное соответствие. В качестве графической формы часто используют эквивалентные схемы.

Рассмотрим электрические схемы с точки зрения компонентных и топологических уравнений.

В электрических схемах фазовыми переменными являются электрические токи и напряжения. Компонентами систем могут быть простые двухполюсные элементы и более сложные двух- и многополюсные компоненты. К простым двухполюсникам относятся следующие элементы: сопротивление, емкость и индуктивность.

Компонентные уравнени я для простых двухполюсников имеют вид:

- для R: u=iR

- для C: i=C(du/dt)

- для L: u=L(di/dt)

Данные модели лежат в основе моделей других возможных более сложных компонентов. Большая сложность может определяться нелинейностью компонентных уравнений, или учетом зависимостей параметров R,C,L от температуры, или наличием более двух полюсов. Однако многополюсные компоненты могут быть сведены к совокупности взаимосвязанных простых элементов.

Топологические уравнения выражают законы Кирхгофа для напряжений и токов. Согласно законам Кирхгофа для напряжений, сумма напряжений на компонентах вдоль любого замкнутого контура в эквивалентной схеме (рис. 2) равна нулю, в соответствии в законами Кирхгофа для токов сумма токов в любом замкнутом сечении эквивалентной схемы равна нулю.

Рис. 2. Эквивалентная схема биполярного транзистора

Известен ряд методов формирования математических моделей систем на макроуровне. Получаемые с их помощью модели различаются ориентацией на те или иные численные методы решения и набором базисных переменных, т.е. фазовых переменных. Общим для всех методов является исходная совокупность топологических и компонентных уравнений.

При записи топологических уравнений удобно использовать промежуточную графическую форму – представление модели в виде эквивалентной схемы, состоящей из двухполюсных элементов. Общность подхода при этом сохраняется, т.к. любой многополюсный компонент можно заменить подсхемой из двухполюсников. В свою очередь эквивалентную схему можно рассматривать как направленный граф, дуги которого соответствуют ветвям схемы. Направления потоков в ветвях выбираются произвольно (если реальное направление при моделировании окажется противоположным, то это приведет лишь к отрицательным численным значениям потока).

Пример некоторой эквивалентной схемы и соответствующего графа приведен на рисунке 3.

Рис. 3. Эквивалентная схема (а) и ее граф (б)

Для получения топологических уравнений все ветви эквивалентной схемы разделяют на подмножества хорд и ветвей дерева. Имеется в виду покрывающее (фундаментальное) дерево, т.е. подмножество из (β-1) дуг, не образующее ни одного замкнутого контура, где β – число вершин графа (узлов эквивалентной схемы). На рисунке 3, б показан граф эквивалентной схемы (рис.3, а), жирными линиями выделено одно из возможных покрывающих деревьев.

Выбор дерева однозначно определяет Ux, Ix – векторы напряжений и токов хорд, Uвд, Iвд – векторы напряжений и токов ветвей дерева и приводит к записи топологических уравнений в виде:

Ux + MUвд =0,

Iвд - M^Т Iх =0,

где М – матрица контуров и сечений; М^Т – транспонированная М-матрица.

В М-матрице число строк соответствует числу хорд, число столбцов равно числу ветвей дерева. М-матрица формируется следующим образом. Поочередно к дереву подключаются хорды. Если при подключении к дереву p-ой хорды q-я ветвь входит в образовавшийся контур, то элемент M_pq матрицы равен +1 при совпадении направлений ветви и подключенной хорды, M_pq= -1 при несовпадении направлений. В противном случае M_pq=0.

Для схемы на рис.3 М-матрица представлена в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Дата добавления: 2014-01-14