Интегралы, зависящие от параметра

Так называются интегралы вида . При этом могут рассматриваться как интегралы Римана, так и несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Возникает вопрос: какими свойствами обладает функция в зависимости от свойств функции ?

Теорема 1. Если функция непрерывна в прямоугольнике , то функция дифференцируема в любой точке , причем .

Это свойство применяется для вычисления некоторых интегралов.

П р и м е р. Известно, что функция не имеет первообразной, выражаемой с помощью элементарных функций. Рассмотрим интеграл , где , . В соответствии с теоремой 1 имеем , а этот интеграл может быть вычислен с помощью тригонометрической подстановки : . Теперь . Из интегрального представления следует: . То есть, , и значит, . Следовательно, . В частности, рассматривая значения , получим

.

Для несобственных интегралов по бесконечному промежутку справедлива

Теорема 2. Пусть для функции , , существует такая функция , что при и интеграл сходится. Тогда если , то .

П р и м е р. Рассмотрим . Поскольку и интеграл сходится (равен ), то согласно теореме 2 . Дважды применяя интегрирование по частям, найдем первообразную подынтегральной функции: . Поэтому . Интегрируя, получим . Имеем , поэтому . В результате, . Перейдем к пределу при и получим точное значение несобственного интеграла 1-го рода от функции, не имеющей первообразной, выражаемой через элементарные функции: для любого .

Дата добавления: 2014-01-14