Основные свойства функции распределения случайного вектора

1. определена на всем пространстве Rⁿ.

2. является неубывающей по каждой из переменных.

3. .

4.

5.

6. является непрерывной слева по каждому аргументу.

7.

то есть при устремлении какой-либо из компонент к бесконечности, функция распределения n-мерного вектора превращается в функцию распределения (n -1)-мерного вектора с удалением соответствующей компоненты. Понятно, что это свойство справедливо для любой группы компонент.

8.

где p_ij...k обозначает значение функции F(x₁,…,x_n) при x_i=a_i, x_j=a_j,…,x_k=a_k и при остальных x_s=b_s.

В частности, в двумерном случае будем иметь

Идея доказательства формулы.

Поскольку

Заметим, что «вычитаемое» событие содержится в «уменьшаемом» событии. В этом случае «вероятность разности» =«разности вероятностей» и в итоге получим

При

– вероятность попадания двумерного случайного вектора в прямоугольник.

где p_ij...k обозначает значение функции F(x₁,…,x_n) при x_i=a_i, x_j=a_j,…,x_k=a_k и при остальных x_s=b_s и при x₄=b_s.

Используя полученную формулу, будем иметь при 4-х переменных

Продолжая этот процесс, получим требуемую формулу.

Замечание: В случае n =1 свойств 1-6 было достаточно для того, что функция F_x(x) была функцией распределения с.в. В случае n >1 свойств 1-6 не достаточно для того, что функция F(x₁,…,x_n) была функцией распределения.

Пример.

Приведенная функция удовлетворяет свойствам 1-7.

Найдем с помощью этой функции

т.е. эта функция не может быть функцией распределения.

Дата добавления: 2014-01-14