Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства отношений




Определение 2.9. Отношение r называется рефлексивным на множестве X, если для любого x Î X выполняется xr x.

Из определения следует, что всякий элемент < x, x > Î r.

Пример 2.15.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>}. Отношение r рефлексивно. Если X – конечное множество, то главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы. Для нашего примера

.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение равенства. Это отношение рефлексивно, т.к. каждое число равно самому себе.

в) Пусть X – множество людей и r отношение "жить в одном городе". Это отношение рефлексивно, т.к. каждый живет в одном городе сам с собой.

Определение 2.10. Отношение r называется симметричным на множестве X, если для любых x, y Î X из xry следует yr x.

Очевидно, что r симметрично тогда и только тогда, когда r = r 1.

Пример 2.16.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>}. Отношение r симметрично. Если X – конечное множество, то матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали. Для нашего примера

.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение равенства. Это отношение симметрично, т.к. если x равно y, то и y равно x.

в) Пусть X – множество студентов и r отношение "учиться в одной группе". Это отношение симметрично, т.к. если x учится в одной группе с y, то и y учится в одной группе с x.

Определение 2.11. Отношение r называется транзитивным на множестве X, если для любых x, y, z Î X из xry и yr z следует xr z.

Одновременное выполнение условий xry, yr z, xr z означает, что пара < x, z > принадлежит композиции r r. Поэтому для транзитивности r необходимо и достаточно, чтобы множество r r являлось подмножеством r, т. е. r r Í r.

Пример 2.17.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>}. Отношение r транзитивно, т. к. наряду с парами < x, y >и < y, z >имеется пара< x, z >. Например, наряду с парами <1, 2>, и <2, 3> имеется пара <1, 3>.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение £ (меньше или равно). Это отношение транзитивно, т.к. если x £ y и y £ z, то x £ z.

в) Пусть X – множество людей и r отношение "быть старше". Это отношение транзитивно, т.к. если x старше y и y старше z, то x старше z.

Определение 2.12. Отношение r называется отношением эквивалентности на множестве X, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на множестве X.

Пример 2.18.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}. Отношение r является отношением эквивалентности.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение равенства. Это отношение эквивалентности.

в) Пусть X – множество студентов и r отношение "учиться в одной группе". Это отношение эквивалентности.

Пусть r – отношение эквивалентности на множестве X.

Определение 2.13. Пусть r – отношение эквивалентности на множестве X и x Î X. Классом эквивалентности, порожденным элементом x, называется подмножество множества X, состоящее из тех элементов y Î X, для которых xry. Класс эквивалентности, порожденный элементом x, обозначается через [ x ].

Таким образом, [ x ] = { y Î X | xry }.

Классы эквивалентности образуют разбиение множества X, т. е. систему непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объединение которых совпадает со всем множеством X.

Пример 2.19.

а) Отношение равенства на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: для любого элемента x из этого множества [ x ] = { x }, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента.

б) Класс эквивалентности, порожденный парой < x, y > определяется соотношением:

[< x, y >] = .

Каждый класс эквивалентности, порожденный парой < x, y >, определяет одно рациональное число.

в) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.

Определение 2.14. Отношение r называется антисимметричным на множестве X, если для любых x, y Î X из xry и yr x следует x = y.

Из определения антисимметричности следует, что всякий раз, когда пара < x, y > принадлежит одновременно r и r 1, должно выполняться равенство x = y. Другими словами, r Ç r 1 состоит только из пар вида < x, x >.

Пример 2.20.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r антисимметрично.

Отношение s = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>} неантисимметрично. Например, <1, 2> Î s, и <2, 1> Î s, но 1 ¹2.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение £ (меньше или равно). Это отношение антисимметрично, т.к. если x £ y, и y £ x, то x = y.

Определение 2.15. Отношение r называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X. Множество X в этом случае называют частично упорядоченным и указанное отношение часто обозначают символом £, если это не приводит к недоразумениям.

Отношение, обратное отношению частичного порядка будет, очевидно, отношением частичного порядка.

Пример 2.21.

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r есть отношение частичного порядка.

б) Отношение А Í В на множестве подмножеств некоторого множества U есть отношение частичного порядка.

в) Отношение делимости на множестве натуральных чиселесть отношение частичного порядка.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 710; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.02 сек.