Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Конформные отображения. Элементарные функции комплексного переменного 2 страница




Согласно свойству 4° значение w=0 не принимается ни при каком z. Следовательно, начало координат плоскости (w) не принадлежит к образу конечной плоскости (z). Любая точка w¹0 принадлежит к образу плоскости (z). Действительно, так как

то прообразом точки w могут быть только точки . Их бесконечно много, т.к. Argw имеет бесконечное множество значений, и каждая из этих точек есть прообраз точки w:

.

Итак, функция expz отображает конечную плоскость (z) на плоскость (w), из которой исключена точка w=0, причём отображение не взаимно-однозначно (доопределить expz в точке нельзя, т.к. не существует ). Так как , то отображение конформно в .

 

При отображении совокупность прямых, параллельных мнимой оси, переходит в совокупность окружностей с центром в начале координат, а совокупность прямых, параллельных действительной оси, – в совокупность лучей, выходящих из начала координат.

Итак, при отображении декартова сетка координат на плоскости (z) переходит в полярную сетку координат на плоскости (w).

Пример.Найти образ полосы при отображении .

■ 1. Найдем образ границы при заданном отображении. Она состоит из двух прямых: Imz=0 (действительная ось) и .

Найдем образ прямой Imz=0. Подставляя у=0 в соотношение , получим w=ex(cos0+isin0) , то есть Это уравнение положительной части действительной оси.

Найдем образ прямой . При из соотношения получим , то есть Это уравнение положительной части мнимой оси.

2. Возьмем произвольную точку из данной полосы, например . Ее образом является точка , которая принадлежит первой четверти. Следовательно, образом полосы при отображении является первая четверть w-плоскости. ■

 

4. Тригонометрические и гиперболические функции

Косинусом комплексного переменного z называется функция

Синусом комплексного переменного z называется функция

.

Свойстваcosz и sinz

При cosz и sinz принимают действительные значения, совпадающие соответственно с cosx и sinx.

Из определения следует, что cos(-z)=cosz, sin(-z)=sinz , следовательно cosz – чётная, sinz – нечётная.

cosz и sinz – периодические с основным периодом 2p.

Для sinz и cosz справедливы основные формулы тригонометрии.

cosz=0 при , sinz=0 при .

Особым свойством синуса и косинуса комплексного переменного является то, что эти функции неограниченные: .

Функции cosz и sinz аналитические в .

, .

Для функций ez, sinz, cosz имеет место формула Эйлера:

eiz=sinz+icosz.

Тангенсом комплексного переменного z называется функция .

Котангенсом комплексного переменного z называется функция .

Свойства tgz и ctgz



, .

tgz=tgx, ctgz=ctgx при .

tg(-z)=-tgz, ctg(-z)=-ctgz .

tgz и ctgz – периодические с основным периодом p.

Нули tgz совпадают с нулями sinz, нули ctgz – с нулями cosz.

tgz и ctgz – аналитические в своих областях определения,

, .

tgz и ctgz принимают любые значения из , кроме z=i и z=-i.

Гиперболические функции комплексного переменногоопределяются следующим образом: , ,

.

Зависимость между тригонометрическими и гиперболическими функциями выражается формулами:

cos(iz)=chz, sin(iz)=i×shz. (4.1)

Пример.Найти значение модуляфункции w=sinz в точке .

■ Пусть z=x+iy. Запишем заданное число в алгебраической форме. Используя известную тригонометрическую формулу, получим:

w=sin(x+iy)=sinxcos(iy)+cosxsin(iy).

Применим формулы (4.1): w=sinxchy+icosxshy.

Тогда

.

Полагая , найдем

. ■

Этот пример показывает, что тригонометрическая функция sinz в комплексной области может принимать значения, по модулю большие единицы.

Пример. Записать число ch(2-3i) в алгебраической форме.

5. Степенная функция и радикал

Степенной называется функция вида .

Если , то . Или

Функция обладает основными свойствами функции действительного переменного:

.

, при . Следовательно, – аналитическая в функция.

–многолистная функция. Областями однолистности функции являются углы с вершиной в начале координат и раствором :

Если , то

.

Радикал определяется как функция, обратная к степенной . Пусть т.е. , тогда

.

Следовательно, радикал имеет n различных значений, которые выражаются формулой

Функция является многозначной (n – значной). Эти n значений располагаются в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность . При и получаем по одному значению функции w=0 и .

Чтобы выделить однозначную ветвь, достаточно указать, в какой области однолистности изменяется w. Областью однолистности функции является угол с вершиной в начале координат и раствором :

Любой луч плоскости (w) при отображении переходит в луч плоскости (z): . Если луч пробегает область против хода часовой стрелки, то луч пробежит всю плоскость (z) от до . Следовательно, любая из областей однолистности перейдет в одну и ту же область плоскости (z): угол раствора 2π, границей которой служит луч .

Таким образом, в области получаем n однозначных ветвей функции . Каждая из них определяется условием, что ее значения принадлежат области Dk. Будем обозначать эти ветви .

6. Логарифмическая функция

Как было сказано, множество всех корней уравнения w=ez (w¹0) представляется формулой

z=ln|w|+iArgw, .

Значит, функция, обратная к z=ew=eu(cosv+isinv), определена "z¹0, "z¹¥ и задается формулой

w=ln|z|+iArgz.

Она называется логарифмической и обозначается Lnz:

w=Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(аrgz+2pk). (4.2)

Эта функция является многозначной. Главным значением Lnz называется то значение, которое получается при k=0, оно обозначается lnz:

lnz=ln|z|+iargz.

Тогда Lnz=lnz+2kpi, .

Следовательно, любое комплексное число z¹0, z¹¥имеет бесконечное множество логарифмов (значений логарифмической функции), из которых любые два отличаются на целое кратное 2p. Если , то Lnz=ln|z| . Но для этих существует еще бесконечно много значений логарифма. Например, Ln2=ln2+2kpi, .

Свойства логарифмической функции

Ln(z1 z2)=Lnz1+Lnz2.

.

Замечание. Эти равенства означают равенство множеств (в том смысле, что множества состоят из одних и тех же элементов).

Поэтому, например, Lnz2 2Lnz.

Введение понятия логарифма комплексного числа позволяет решать в комплексной области показательные уравнения. Простейшим таким уравнением является уравнение вида ez+a=0. Его решение сводится к нахождению значений выражения Ln(-a), то есть z=Ln(-a).

Пример.Решить уравнение ez+2i=0.

■ Из равенства ez=-2i находим z=Ln(-2i). Находим модуль и главное значение аргумента числа (-2i): |-2i|=2, . Следовательно, . ■

Чтобы выделить однозначные ветви функции w=Lnz, надо выделить области однолистности функции z=ew. Ими являются полосы шириной 2p, паралельные действительной оси:

Dk : v0+2<Imw<v0+2(k+1)π, .

Функция z=expw однозначна на Dk, следовательно, здесь она имеет однозначначную обратную функцию w=(Lnz)k многозначной функции w=Lnz. При отображении z=expw прямая v=с переходит в луч z=exp(u+iv)=eu(cosc+sinc), расположенный под углом С к действительной оси. Если прямая v=с проходит областьDk от v0+2 до v0+2(k+1)π, то луч сделает полный оборот вокруг начала координат. Следовательно, образом полосыDk является область G -угол раствора 2p, границей которого служит луч, расположенный под углом v0 к действительной оси.

Таким образом, в области G получаем бесконечное множество различных однозначных ветвей функции w=Lnz. Каждая из w=(Lnz)к характеризуется тем, что её значения принадлежат полосе Dk.

 

7. Общие степенная и показательная функции

Общей степенной функцией комплексной переменного называется функция вида

=exp(aLnz), . (4.3)

Она определена "z¹0 и в общем случае является многозначной. Ее главное значение равно .

Функция вида

, (4.4)

где , , называется общей показательной функцией. Эта функция многозначна в силу многозначности Lna. Ее главное значение равно .

Пример.Вычислить .

Решение.

Положим . Применим формулы (4.4) и (4.2):

, .

,

Точка а лежит в четвертой четверти, следовательно,

Тогда .

Окончательно получим:

.

Запишем ответ в алгебраической форме:

.

 

 





Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 1434; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:





studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.158.250.39
Генерация страницы за: 0.118 сек.