Вопрос 1. Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение

Резонанс напряжений и резонанс токов.

Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Свободные затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

ЛЕКЦИЯ 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

Вопросы:

Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы напряженности электрического и магнитного полей. Примером электрической цепи, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, (рис.2.1).

Если сопротивление R мало (R →0) электрический контур является идеальным ( LC – контур). При R ≠0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.

Рис.2.1

Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо

сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q, либо возбудив в катушке индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе К зарядим конденсатор С. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого W _C = q ²/2 C.

После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность L. Энергия магнитного поля W _L= LI ²/2. Если R = 0 (рис. 2.2), то в момент, когда напряжение на

конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия W _C обращаются в нуль, энергия магнитного поля W _L и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции ε_с). В дальнейшем ток

W _C = q ²/2 C W _C = 0 W _C = q ²/2 C W _C = 0 W _C = q ²/2 C

W _L = 0 W _L = LI ²/2 W _L = 0 W _L = LI ²/2 W _L = 0

Рис.2.2

уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора С достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока в цепи станет равной нулю. После этого рассмотренные процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения)

сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

При возрастании электрического заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока в цепи равна

I = dq / dt. (2.1)

Для расчета электрической цепи запишем закон Ома, условившись, что обход контура будем совершать против часовой стрелки:

IR = φ ₁ – φ ₂ + ε_с. (2.2)

Подставив разность потенциалов между обкладками φ ₂ – φ ₁ = q / C и э.д.с. самоиндукции ε_c = –LdI / dt, равенство (2.2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q (t) на обкладках конденсатора, и таким образом получим дифференциальное уравнение второго порядка колебаний заряда в контуре:

. (2.3)

Поскольку внешние э.д.с. в контуре отсутствуют, то рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.

Если учесть, что R = 0, то процесс периодического превращения энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора меняется во времени по закону U = U ₀ cosω ₀ t, а ток в катушке индуктивности – I = I ₀ cosω ₀ t, т. е свободныеколебания в контуре являются гармоническими с частотой ω ₀ = 2π/ Т ₀. Используя стандартные обозначения для собственной циклической частоты гармонических колебаний

, (2.4)

уравнение (2.3) перепишем так

(2.4а)

– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний электрического заряда в контуре.

Решением уравнения (2.4а) является функция

q = q _m cos (ω ₀ t + α). (2.5)

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω ₀ (2.4), которая называется собственной циклической частотой контура, т.е. соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.

Из (2.4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):

. (2.6)

Используя известную формулу q = UC и (2.5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:

U _с = (1/ C) q _m cos (ω ₀ t + α) = U _m cos (ω ₀ t + α). (2.7)

Продифференцировав функцию (2.5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:

I = - ω ₀ q _m sin (ω ₀ t + α) = I _m cos (ω ₀ t + α + π/2). (2.8)

Из (2.8) видно, что сила тока в катушке индуктивности L опережает по фазе напряжение на конденсаторе C на π/2. Сопоставление формул (2.5), (2.7) и (2.8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях. Амплитудные значения тока и напряжения:

U _m= q _m/ C, I _m = ω ₀ q _m, U _m = I _m .

Дата добавления: 2014-11-06