Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие базиса




Линейная зависимость и независимость векторов.

Линейные операции над векторами, то есть сумма векторов и умножение вектора на число, позволяют составить линейную комбинацию векторов с числами , которая дает некоторый вектор :

Задача 1. Векторы а, , коллинеарны и имеют одинаковое направление, причем . Что можно сказать о векторах

1) , 2) , 3) ?

Решение. 1) Из условия задачи и из определения произведения вектора на число следует, что . Тогда искомый вектор равен

=

Он коллинеарен данным векторам и противоположно направлен, длина его совпадает с длиной вектора . Случаи 2,3 рассмотреть самостоятельно. ¨

Векторы линейно зависимы, если существуют такие числа , не все одновременно равные нулю (то есть числа, для которых выполняется условие ), что линейная комбинация данных векторов с этими числами дает нулевой вектор:

. (1.1)

Например, векторы а, , задачи 1 линейно зависимы, так как существуют такие числа , , с которыми линейная комбинация .

Для этих векторов можно указать и другие ненулевые наборы чисел, например, (проверьте!), с которыми удовлетворяется условие (1.1).

Векторы линейно независимы, если условие (1.1) выполняется только с равными нулю числами . Например, векторы задачи 1 предыдущего раздела линейно независимы, так как диагональ параллелограмма, построенного на "растянутых" векторах и , может равняться нулю лишь тогда, когда .

Для двух векторов необходимым и достаточным условием линейной зависимости является их коллинеарность. Для трех векторов необходимое и достаточное условие линейной зависимости – их компланарность. Произвольные четыре вектора всегда линейно зависимы.

Три линейно независимых вектора образуют в пространстве базис, если любой вектор можно представить в виде:

. (1.2)

Равенство (1.2) называют разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в этом базисе.

Для базисных векторов равенство (1.2) принимает вид:

Координаты каждого вектора в заданном базисе определяются однозначно. Если вектор равен нулю, то в разложении (1.2) все три числа равны нулю.

Базис в пространстве образует произвольная тройка некомпланарных векторов, базис на плоскости - произвольная пара неколлинеарных векторов, базис на прямой - произвольный ненулевой вектор.

Задача 2. Постройте разложение заданного вектора на два компланарных с ним слагаемых, если известны

1) направления каждого слагаемого,

2) направление и длина одного из слагаемых ¨

 

Если базисные векторы привести к общему началу в точке , то координаты вектора в базисе называют аффинными координатами точки . Частный случай аффинных координат – декартовы (прямоугольные) координаты. В декартовой системе координат базисные векторы обозначаются , они единичны и взаимно перпендикулярны (ортогональны). Направление ортов совпадает с направлением координатных осей соответственно. Декартовы координаты точки - это координаты радиуса-вектора точки (координаты вектора ) в базисе .

Декартовы координаты вектора а обозначим ,они равны проекциям этого вектора на координатные оси соответственно. Значит, = или .

Длина (модуль) вектора определяется формулой

. (1.3)

Определим проекцию вектора а на ось соотношением

(1.4)

Здесь - угол между вектором а и осью , . Заметим, что – число.

Проекция вектора на ось имеет линейные свойства, а именно:

,

Линейные свойства проекции вектора на ось может объяснить рис.5, где

, значит,

Рис.5

Если ввести - углы наклона вектора а к осям соответственно, то получим

, (1.5)

Числа называют направляющими косинусами вектора а. Из формул (1.3) и (1.5) следует, что

Например, вектор а с координатными осями может образовывать углы , так как .

Задача 3. Проверьте, может ли некоторый вектор образовывать с координатными осями углы .

Ответ. Не может. ¨

 

Если ненулевой вектор а разделить на его модуль, получим орт а° вектора а:

. (1.6)

В силу линейности проекции при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая его координата множится на это число.

Если в системе координат заданы две точки и , то вектор имеет координаты

(1.7)

Задача 4. В треугольнике известны одна из вершин и векторы . Найти координаты двух других вершин и координаты вектора .

Решение. Обозначим координаты точек и через и соответственно. По формуле (1.7) .

Итак, имеем вектор и координаты его начала , что позволяет определить координаты конца :

Получили . Аналогично находим координаты точки :

.

Остается найти вектор :

 

Длина вектора равна расстоянию между точками и :

. (1.8)

 

Задача 5. Можно ли вписать окружность в четырехугольник с вершинами в точках

Решение. Напомним, что окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны между собой. Вычислим

Получили 2+8=5+5, значит, в данный четырехугольник окружность вписать можно ¨

Задача 6. Даны векторы . Найти координаты векторов и . Определить длину вектора его орт.

Решение. Координаты вектора - это суммы соответствующих координат векторов а и , то есть . Модуль вектора найдем по формуле (1.3): . Осталось в соответствии с(1.6) найти орт вектора :




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 741; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.024 сек.