КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Системы линейных уравнений. В этом разделе приведем вспомогательный материал из линейной алгебры, содержащий краткие сведения об определителях второго и третьего порядков
В этом разделе приведем вспомогательный материал из линейной алгебры, содержащий краткие сведения об определителях второго и третьего порядков. Излагается также метод решения систем двух (трех) линейных уравнений с двумя (тремя) неизвестными. Этот материал существенно используется как в предыдущих, так и в последующих разделах. Прямоугольную таблицу чисел
называем матрицей. Здесь – число строк, – число столбцов, – элемент матрицы, который находится в -ой строке и -ом столбце. Если , то матрица называется квадратной, – ее порядок. Квадратной матрице второго порядка ставится в соответствие определитель (детерминант), который будем обозначать одним из символов и вычислять по правилу (1.27) Задача 1. Вычислить определители . Решение. По формуле (1. 27) находим: , . ¨
Задача 2. Решить уравнение 1) , 2) . Ответ. 1) , 2) . ¨
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: (1.28) Исключим неизвестную , для чего умножим первое уравнение системы на , второе на , а затем сложим преобразованные равенства. Получим . Теперь исключим неизвестную , для чего умножим первое уравнение на , а второе на . После сложения получим: . Введем обозначения . С учетом этих обозначений (1.28) превращается в эквивалентную систему: . (1.29) Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы, определители получаются из определителя заменой первого (второго) столбца столбцом из свободных членов системы. Если , то система (1.29), а вместе с ней и исходная система (1.28) имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера: . (1.30) Если , то система (1.29) имеет множество решений (не определена). Еслиже , а, по крайней мере, один из определителей или отличен от нуля, то система не имеет ни одного решения (несовместна).
Этот результат имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим две прямые и . Если эти прямые пересекаются в одной точке, то система (1.28) имеет единственное решение. Если прямые сливаются в одну, то система имеет множество решений. Наконец, если прямые параллельны, система не имеет ни одного решения (см. часть 2 "Линейные образы"). ¨
Задача 3. Решить систему . Решение. Вычислим определитель системы и определители : . По формулам Крамера находим . ¨
Задача 4. Исследовать, при каких значениях параметра система а) определена, б) не определена, в) несовместна. Решение. Вычислим определитель системы: . Уравнение имеет два корня: и . Вычислим . Следовательно, когда , то система определена. Ее единственное решение находим по формулам Крамера: . Когда , то есть когда , система не определена (имеет множество решений). Наконец, когда , а или , то есть при , система несовместна. ¨ Квадратной матрице третьего порядка ставится в соответствие определитель третьего порядка: (1.31) Конструкцию слагаемых и их знаки легко запомнить с помощью простой схемы (правило треугольника):
Со знаком "+" Со знаком "-" Задача 5. Вычислить определитель 3-го порядка . Решение. По правилу треугольника находим: ¨ Задача 6. Показать, что . ¨ Решение. Перегруппируем слагаемые в выражении (1.31), выделяя, например, элементы первой строки:
Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 313; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |