Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Функциональные и степенные ряды




 

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда:

Решение

а) Данный степенной ряд можно записать так:

Применяем признак Даламбера и ищем предел:

Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых

Таким образом, интервал сходимости данного ряда (-2; 2). Граничные точки интервала сходимости х = 2, для которых Д = 1 и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, и исследуется особо.

При х = -2, получим числовой знакочередующийся ряд для которого выполняются все условия признака Лейбница: и Следовательно ряд сходится. При х = 2, получим гармоничный ряд который расходится.

Следовательно, областью сходимости данного ряда является полуоткрытый интервал:

 

-2 ≤ х < 2

 

б) Здесь Применим признак Коши, находя предел:

при любом х ≠ 0.

Следовательно, заданный степенной ряд расходится при всех значениях х ≠ 0 и сходится только при х = 0.

 

Пример 3. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Решение

Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin x, имеем:

 

Получен знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в этом ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничимся только первыми тремя членами. Итак,

 

 

Пример 4. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального уравнения у΄ = х + х22+ cos x, если у(0)=1.

 

Решение

Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если функцию у(х) можно разложить в ряд Маклорена, то

 

(1)

Свободный член разложения (1), т.е у(0), дан по условию. Чтобы найти значения у΄(0), у΄΄(0),

у΄΄΄(0), …, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.

Значение у΄(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

 

 

Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:

 

или

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-06; Просмотров: 1225; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.