Равновесие сил и моментов. Симметрия тензора напряжений

Для условия равновесия объема V сплошной среды под действием системы поверхностных сил и массовых сил , необходимо чтобы результирующая сила и результирующий момент, действующие на этот объем, были равны нулю. Суммирование поверхностных и массовых сил приводит к соотношению

.

где – массовая плотность. Связь между массовыми силами отнесенными к единице массы , и массовыми силами относительно объема , имеет вид . Используя соотношение (1.2) и формулу Гаусса-Остроградского, преобразуем первый интеграл к виду

.

В результате уравнения равновесия принимают окончательный вид

или (1.5)

где .

Рассмотрим уравнение равновесия моментов поверхностных и массовых сил относительно начала отсчета:

или

, ,

где – радиус вектор элемента поверхности или объема, – тензор третьего ранга Леви-Чивиты, который определяется следующим образом:

если значения i, j, k образуют четную перестановку из 1, 2, 3;

если значения i, j, k образуют нечетную перестановку;

если два или три индекса имеют одинаковые значения.

Используя формулу Гаусса-Остроградского и соотношение (1.2), уравнение равновесия моментов преобразуем к виду:

.

Дифференцируя его, получаем, что

.

С учетом уравнения равновесия имеем

или , .

При i =1, .

При i =2, .

При i =1, .

Следовательно, тензор напряжений является симметричным тензором, и уравнения равновесия могут быть записаны в виде

. (1.6)

Дифференцируя (1.7) получаем

(1.7)

Дата добавления: 2014-11-06