Плоское напряженное состояние

Плоское напряженное состояние. Разложение тензора напряжений на шаровую часть и девиатор

Группа В

34. В декартовой системе координат компоненты тензора напряжений в точке имеют вид , . Определить главные компоненты и написать преобразование, с помощью которого выполняется переход к главным осям.

35. Построить круги Мора и определить максимальное касательное напряжение для напряженного состояния .

36. Вычислить инварианты для тензора напряжений .

37. Определить величины главных напряженийдля тензоров и и показать, что главные оси этих тензоров совпадают.

38. Известны главные напряжения в точке Р , , . Определить вектор напряжения, его нормальную и касательную компоненты на площадке .

В том случае если одно и только одно из главных напряжений равно нулю, говорят, что существует плоское напряженное состояние. Такая ситуация возникает в свободной от нагрузки точке на свободной поверхности, ограничивающей тело.

Если главные напряжения упорядочены, т.е. , то расположение кругов Мора для случая плоского напряженного состояния будет иметь один из видов, представленных на рис. 4.1.

Если главные напряжения не упорядочены и в качестве направления нулевого главного напряжения взято направление х ₃, то плоское напряженное состояние имеет только компоненты в плоскостях, параллельных плоскости х ₁ х ₂. При произвольном выборе ориентации ортогональных осей х ₁ и х ₂ (рис. 4.2) матрица напряжений имеет вид

.

Поверхность напряжений для плоского напряженного состояния является цилиндром, основание которого лежит в плоскости х ₁ х ₂ и описывается уравнением

или .

В элементарных курсах сопротивления материалов плоское напряженное состояние часто представляют одним кругом Мора. Однако если этот единственный круг окажется одним из внутренних кругов (рис. 4.1), то величина максимального касательного напряжения в точке не будет определена.

Дата добавления: 2014-11-06