Методи наближеного обчислення

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Теорема 6: Нехай функції і мають неперервні похідні на відрізку тоді справедлива формула . Ця формула називається формулою інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Розглянемо ряд прикладів обчислення визначених інтегралів методом інтегрування частинами:

Приклад:

;

Приклад:

.

Для деяких неперервних підінтегральних функцій первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.

Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.

Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла. Найбільш часто використовують три методи – метод прямокутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімсона).

Якщо відрізок інтегрування поділити на рівних частин довжиною і позначити через середню точку відрізка , тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою , яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде , тим менше буде крок і права частина формули буде давати більш точне значення інтеграла.

Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення на рівних частин довжиною і позначити значення функції в точках ділення , тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою , яку називають формулою трапецій.

Легко бачити, що при зростанні крок зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.

Якщо відрізок інтегрування поділити на парну кількість рівних частин (тобто ) і позначити , де - точки ділення, , тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою , яку називають формулою парабол (або формулою Сімсона). Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовується метод парабол за яким на кожному відрізку три значення функцій входять до інтегральної суми.

Приклад: Обчислити визначений інтеграл поділивши інтервал інтегрування на шість рівних частин .

1) по формулі прямокутників.

; Інтервал інтегрування розбиваємо точками: на шість рівних частин. Тоді . Наслідки обчислень подамо у вигляді таблиці.

	0,1	0,10000490
	0,3	0,3012125
	0,5	0,5153882
	0,7	0,7795183
	0,9	1,1582058
	1,1	1,7267197

Використовуючи формулу прямокутників, дістаємо: .

2) за формулою трапецій.

Наслідки обчислень подамо у вигляді таблиці.

	0,0
	0,2	0,2001599
	0,4	0,4050876
	0,6	0,6376958
	0,8	0,9498125
	1,0	1,4142135
	1,2	2,1038022

Використовуючи формулу трапеції, дістаємо:

3) за формулою парабол.

якщо , то .

.

Дата добавления: 2014-11-06