Дослідження невласних інтегралів

Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування. В цьому випадку називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.

Якщо не виконується перша умова, то або або та, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченими межами.

Дослідження невласних інтегралів проводять шляхом використання граничного переходу до визначеного інтеграла.

Інтеграли з необмеженими межами розглядають так:

.

.

Якщо вказані границі існують (будуть скінченими числами), то відповідний інтеграл називають збіжним і він дорівнює своїй границі. Якщо якась границя не існує або дорівнює нескінченості, то інтеграл називають розбіжним.

Приклад: Обчислити інтеграл або встановити його розбіжність.

Розв’язування: Згідно з означенням невласного інтеграла, маємо:

. Отже, цей інтеграл, збіжний і дорівнює 1.

У випадку необмеженої на функції її точки розриву можуть бути на лівому кінці або на правому кінці або всередині проміжку інтегрування . У цих випадках невласні інтеграли визначають так:

Якщо вказані границі існують, то відповідний інтеграл називають збіжним. У протилежному випадку розбіжним.

Приклад: Обчислити інтеграл або встановити розбіжність.

Розв’язування: В точці підінтегральна функція необмежена, тобто вона має розрив всередині проміжка інтегрування. За означенням такого невласного інтеграла маємо:

. Отже, інтеграл розбіжний.

Дата добавления: 2014-11-06