Линейные операции над векторами. Для векторов вводятся две линейные операции

Для векторов вводятся две линейные операции.

Определение 1.

Пусть даны два вектора а и b.

Приложим вектор к точке О, получим вектор . Приложим вектор b к точке А, получим вектор . Вектор назовём суммой векторов а и b: .

Определение 2. Пусть задан вектор а и число l. Произведением вектора а на число l называется вектор l а, определяемый следующим образом: длина |l а | = |l|×| |; l а ­­ а, если l ³ 0 и l а ­¯ а, если l< 0.

Теорема 1(Свойства линейных операций).

1. (коммутативность сложения):

2. (ассоциативность сложения);

3. а + 0 = 0 + а;

4. l(m а) = (lm) а (ассоциативность умножения на число);

5. (l+m) а = l а + m а;

6. l (а + b) = l а + l b;

7. 0 × а = 0;

8. l × 0 = 0.

Противоположным к вектору а называется вектор (– а), имеющий такую же, как и вектор а длину, но противоположное вектору а направление. Нетрудно видеть, что (– а) = (–1) × а.

Разностью векторов а и b назовём сумму векторов а и (– b): а – b = a + (– b).

Определение 13. Отношением двух коллинеарных векторов а и b, , называется число, определяемое равенством

Всегда l а || а. Если a|| b ), то , где . Поэтому имеет место Теорема 2. a|| b тогда и только тогда, когда при некотором .

Дата добавления: 2014-11-06