Геометрическая интерпретация производной

Определение производной.

Пусть . Составим отношение

(1)

Если это отношение имеет конечный предел при , то этот предел называется производной функции f в точке х ₀ и обозначается одним из символов: . Таким образом

(2)

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Теорема 1. Если функция имеет в точке производную, то она в этой точке непрерывна.

Пусть . Прямую, проходящую через точки и будем называть секущей и обозначать через . Прямую будем называть касательной к графику функции f в точке . Обозначим ее через .

Пусть – угол между секущей и действительной осью, – угол между касательной и действительной ось. Так как , то , и поскольку есть функция непрерывная, . Таким образом, при стремлении к секущая будет вращаться вокруг точки , и при этом угол между и будет стремиться к нулю. Поэтому говорят, что касательная есть предельное положение секущей.

Из определения касательной к графику функции f вытекает геометрический смысл производной: производная функции f в точке есть тангенс угла наклона касательной к графику функции f в точке .

3) Введение новых понятий с помощью производной; физическая интерпретация производной.

С помощью производной можно вводить новые понятия.

Пример 1. Пусть f (t) – функция, которая каждому моменту времени t ставит в соответствие длину пути, пройденного телом при прямолинейном движении от начала движения до данного момента времени t. Тогда

есть средняя скорость за промежуток . Мгновенной скоростью прямолинейного движения тела в момент времени t ₀ называется .

Подобным образом производная используется для вычисления скорости протекания различных процессов физического, химического и другого характера.

Пример 2. Рассмотрим стержень – тело, площадь поперечного сечения которого мала по сравнению с длиной. Средней линейной плотностью данного участка стержня называется отношение массы данного участка стержня к длине этого участка.

Обозначим через х – длину стержня от его начала А до некоторой точки В¢, f (х) – массу участка АВ¢. Тогда – средняя линейная плотность участка ВВ¢, а называется линейной плотностью стержня в точке В.

Дата добавления: 2014-11-06