Переведення чисел із десяткової системи у систему числення з основою k

Переведення чисел із системи числення з основою к у десяткову систему

Один із методів переведення чисел із системи числення з основою к у десяткову сис­тему числення ґрунтується на використанні кількісного еквівалента числа. Для пере­ведення необхідно записати число у його кількісному еквіваленті, замінивши цифри системи числення з основою к та основу к їхніми десятковими еквівалентами, а потім обчислити вираз за правилами десяткової арифметики.

Приклад 1. Переведемо двійкове число 1011,1001 у десяткову систему числення.

1011,1001 = 1-2³+ 0-2²+1-2¹+1-2⁰+1-2 ^-1+0-2 ^-2+0-2'³+1-2 ^-1 =

= 8 + 0 + 2+ 1 + 0,5 + 0 + 0 + 0,0625= 11,5625;

Таким чином, 1011,1001₂ = 11,5625₁₀.

Приклад 2. Переведемо вісімкове число 105,71 у десяткову систему числення.

105,71 = 1-8² + 0-8¹ + 5-8° + 7-8 ^-1 + 1-8 ^-2 = 64 + 0 + 5 + 0,875 + 0,015625 = 69,890625;

Результат: 105,71₈ = 69,890625₁₀.

Приклад 3. Переведемо шістнадцяткове число 2ED,0А до десяткової системи числення.

2ЕD,0А = 512 + 224 +13+0+0,0390625 =

= 849,0390625;

Результат: 2ЕD,0А₁₆ = 849,0390625₁₀.

Розглянемо переведення чисел із десяткової системи числення у іншу однорідну по­зиційну систему числення з основою к, коли дії виконуються в десятковій системі. У разі цього переведення окремо виконується переведення цілої частини числа й окремо - дробової; результати потім додаються.

Цілу частину десяткового числа X ділять на основу системи числення к за правила­ми десяткової арифметики до отримання залишку, який буде десятковим еквівалентом цифри молодшого розряду результату. Якщо частка від ділення не дорівнює 0, то вона стає діленим і процес ділення на к продовжується. Як тільки чергова частка стане рівною 0, процес ділення на к припиняється. Залишок, який отримали у результаті першого ділення на к, є цифрою розряду результату з вагою к°, залишок у результаті другого ділення - циф­рою з вагою kⁱ і т. д. Останній залишок є цифрою старшого розряду результату.

Дробова частина десяткового числа X множиться на к за правилами десяткової арифметики. В отриманому добутку від’єднується ціла частина, яка може дорівнювати 0, а дробова частина знову множиться на к із наступним від’єднанням цілої частини. Ця операція повторюється або до отримання нульової дробової частини добутку, або до отримання необхідної кількості розрядів числа Х_к. Цифра старшого розряду результату переведення (тобто, перша після коми) збігається з першою від’єднаною цілою части­ною, цифра другого розряду результату переведення - із другою від’єднаною цілою час­тиною і т.д. При цьому від’єднані цілі частини необхідно представити в системі числення з основою k.

Приклад. Переведемо десяткове число 11,5625 у двійкову систему числення з точніс­тю до п’яти розрядів після коми.

Переведення цілої частини:

11:2=5, залишок 1 (молодший розряд результату),

5:2 = 2, залишок 1,

2:2 = 1, залишок 0,

1:2 = 0, залишок 1 (старший розряд результату).

Результат: 11₁₀= 1011₂.

Процедура переведення дробової частини наведена у табл. 2.3.

Таблиця 2.3

Крок	Дріб	Результат множення на k = 2	Ціла частина результату множення, яка вилучається	Вага двійкового розряду
	0.5625	1.125		Старший (перший після коми)
	0.125	0.25
	0.25	0.5
	0.5	1.0		Молодший
	0.0	0.0

Результат: 0.5625₁₀ =0,10010,.

Повний результат: 11,5625 ₁₀ = 1011 + 0,10010 = 1011,10010₂.

2.5. Представлення чисел зі знаком

Для позначення знаку числа в звичайній арифметиці використовують символи «-» та «+». Як зазначалося, у комп’ютерній техніці використовують елементи з двома ста­нами, які можуть зберігати двійкову цифру (0 чи 1). Зрозуміло, що цю цифру доцільно використати і для позначення знаку числа, коли 0 відображає знак «+», а 1 - знак «-».

Для спрощення виконання арифметичних операцій додатні та від’ємні числа (тоб­то числа зі знаком) відображаються спеціальними кодами: прямим, оберненим та допо­вняльним.

Дата добавления: 2014-11-06