Основные понятия дифференциальных уравнений

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТЕМА №5

Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, медицине, фармации и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист любой отрасли знаний получает готовый аппарат для численного решения задачи, изучения качественных особенностей этого решения.

Цель занятия:

1. Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у=f(x) и её производные . Общий вид дифференциального уравнения:

или

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком наивысшей производной, входящей в данное уравнение:

-дифференциальное уравнение первого порядка.

-дифференциальное уравнение второго порядка.

Дифференциальное уравнение называется полным, если оно содержит в себе свободный член, производные, начиная с производной нулевого порядка, затем производных первого, второго и всех последующих порядков. Если же один из этих членов отсутствует, то уравнение называется неполным.

-полное дифференциальное уравнение

-неполное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение называется приведённым, если в его правой части стоит ноль.

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция есть функция одного аргумента.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение (вместе со своими производными), превращает его в тождество.

Всякое решение, которое содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением. Решение, полученное из общего решения, путём задания произвольным постоянным определённых численных значений, называется частным решением. На практике частное решение получается из общего решения не прямым заданием значений произвольных постоянных, а исходя из тех условий, которым должно удовлетворять искомое частное решение.

Дата добавления: 2014-10-15