Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности

Понятие вероятности события

Предположим, что производится массовое обследование населения. Например, определяется температура тела, измеряется давление крови, производится анализ мочи, крови. При этом происходят события:

А – наличие повышенной температуры;

В – наличие нормального давление крови;

С – наличие повышенного давления;

D – наличие сахара в моче;

Е – пониженное содержание лейкоцитов в крови и т.д.

Каждое из перечисленных событий обладает какой-то степенью возможности: одно – большей, другое – меньшей. Чтобы количественно сравнивать события по степени их возможности, с каждым событием связывают определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число называют вероятностью события. В качестве единицы измерения вероятности принимают вероятность достоверного события – такого события, которое в результате испытания непременно должно произойти. Например, достоверное событие – обнаружение лейкоцитов при проведении анализа крови. Противоположным по отношению к достовеному событию является невозможное событие – такое событие, которое в данном испытании не может произойти. Например, отсутствие лейкоцитов в крови человека – невозможное событие. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному событию, равную нулю, то все другие события – возможные, но не достоверные, будут характеризоваться вероятностями, составляющими какую-то долю единицы:

0 ≤ Р ≤ 1

Исторически закономерности случайных явлений изучались на материале азартных игр. Азартные игры создавались таким образом, чтобы их исходы были независимы от поддающихся наблюдению условий, то есть были чисто случайными. Схемы азартных игр дают исключительно простые модели для изучения специфических законов случайных явлений, для которых вероятности возможных исходов испытаний можно оценить непосредственно из условий испытаний. Для этого испытания должны обладать симметрией возможных исходов.

Рассмотрим, например, испытание, состоящее в бросании игрального кубика. В силу симметрии кубика есть основания считать, что все шесть возможных исходов испытания одинаково возможны. Это позволяет предполагать, что при многократном бросании кубика все шесть граней будут выпадать примерно одинаково часто. Для правильно выполненного кубика это предположение действительно оправдывается: при многократном бросании кубика каждая его грань выпадает примерно в одной шестой доле случаев бросания. Отклонение этой доли от тем меньше, чем больше число испытаний произведено. Для всякого испытания, в котором возможные исходы симметричны и одинаково возможны, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей.

События, образующие полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, называют элементарными. Элементарными событиями, например, являются: появление герба и цифры при бросании монеты; появление 1,2,3,4,5,6 очков при бросании игрального кубика.

Элементарные события такой группы называют благоприятствующими осуществлению события А, если осуществление любого из элементарных событий влечет за собой осуществление события А. Например, появление 2,4,6 очков при бросании игрального кубика благоприятствует осуществлению события А, заключающегося в появлении четного числа очков.

Классической вероятностью Р(А) события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу n всех элементарных событий, то есть

.

Задача:

В коробке находится 4 красных и 6 синих карандашей. Наугад извлекаем 1 карандаш. Определить вероятность, что он будет красным.

Решение:

Число элементарных событий, благоприятствующих извлечению красного карандаша событие А, m =4. Общее число элементарных событий n =10.

Вероятность извлечения красного карандаша .

Если в одних и тех же условиях произведена серия из n испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то отношение числа испытаний, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных испытаний, называется относительной частотой события А, или частотой.

Частота события вычисляется на основании результатов испытаний по формуле:

,

где m – число появлений события А,

n – число испытаний.

Увеличение числа испытаний уменьшает колебание частоты события около некоторой постоянной величины.

Статистической вероятностью случайного события называют предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

.

Практически за вероятность случайного события можно принять относительную частоту события при большом числе испытаний.

Задача:

При обследовании 250 человек путем флюорографии были выявлены следующие заболевания: у 7 человек–опухоль в легких, у 3 человек–плеврит, у 5 человек–остаточные явления после пневмонии. Найти вероятность этих заболеваний, выявленных с помощью флюорографии.

Дано: Решение:

n =250 ;

m₁=7 ;

m₂=3 .

m₃=5

P(A)-?

P(В)-?

P(C)-?

Дата добавления: 2014-10-15