Среднего возраста работников предприятия

Возраст, лет	Число работников, чел.(f)	Серединное значение интервала (x)	xf
до 25		22,5	157,5
25-30		27,5	357,5
30-40		35,0	1330,0
40-50		45,0	1890,0
50-60		55,0	880,0
60 и более		65,0	325,0
Итого		-	4940,0

Расчеты средней арифметической могут быть громоздкими, если варианты и веса имеют большие значения. Использование математических свойств средней арифметической взвешенной позволяет значительно упростить вычисления. В этом случае среднюю величину исчисляют по способу момента или отсчета от условного нуля. Этот способ применяется в интервальных рядах с равными интервалами. Средняя величина по способу момента исчисляется по формуле:

где i - величина интервала;

m ₁ - момент первого порядка;

A - одна из вариант.

m ₁ – момент первого порядка – исчисляют формулой:

где x ₁ - это условная (приведенная) варианта.

.

Пример 5. Имеются следующие данные о времени горения электроламп:

Группы электроламп по времени горения, ч.	Число электроламп
800-1000
1000-1200
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000

Необходимо определить среднее время горения электроламп по способу момента.

Рассмотрим методику расчета средней величины, результаты которого приведены в таблице 2.4.

Таблица 2.4.

Расчетная таблица для определения среднего времени горения электроламп по способу момента

Группы электроламп по времени горения, ч.	Число электроламп (f)	x	x-A = x - 1300	x1= =
800-1000			-400	-2	-40
1000-1200			-200	-1	-80
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800-2000
Итого:		-	-	-

В качестве постоянной А принято брать серединную варианту, если число групп нечетное, или варианту ряда с наибольшей частотой при четном количестве групп. В нашем примере это х = А = 1300. Найдем отклонения вариант от этой величины и получим значения новых вариант: х – А = х – 1300.

Разделив значения вариант (х – А) на 200, получим новые значения вариант (х₁): х ₁= .

Находим момент первого порядка:

.

Поставив числовые значения в формулу, найдем среднее время работы электроламп:

Средняя гармоническая представляет собой величину, обратную средней арифметической, исчисленной из обратных значений признака. Формула средней гармонической следующая:

- простая; -взвешенная,

где х – величина, для которой вычисляется средняя;

- частота, вес признака ( = xf).

Пример 6. Бригада токарей занята обточкой одинаковых деталей в течение

8-часового рабочего дня. Первый токарь затрачивал на одну деталь 12 мин., второй – 15 мин., третий -11 мин., четвертый - 16 мин., пятый – 14 мин.

Требуется определить среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

На первый взгляд кажется, что задача легко решается по формуле средней арифметической простой:

Полученная формула была бы правильной, если бы каждый рабочий сделал только по одной детали. Но в течение дня отдельными рабочими было изготовлено различное число деталей. Для определения числа деталей, изготовленных каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

Среднее время, затраченное ₌ Все затраченное время

на одну деталь Число деталей

Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время, необходимое для изготовления одной детали, равно:

Это же решение можно представить иначе:

Таким образом, формула для расчета средней гармонической простой будет иметь вид:

=

Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда неизвестны действительные веса f, а известно = xf. Например, по средней гармонической определяется средняя цена товара по сети магазинов при наличии данных о стоимости (в формуле - ) и цене (х) его продаж в отдельных магазинах, или средняя заработная плата работников фирмы при имеющихся данных о фонде заработной платы с средней заработной плате в отдельных ее подразделениях и др.

Пример 7. Имеются данные о затратах на производство продукции (издержки производства) и себестоимости единицы продукции А по трем предприятиям:

№ предприятия	Затраты на производство продукции, тыс.руб.	Себестоимость единицы продукции, руб.
	2856,0	225,0
	4655,5	230,5
	3780,3	210,0

Требуется определить среднюю себестоимость одного изделия по трем заводам.

Расчет средней себестоимости выражается соотношением:

Средняя себестоимость Затраты на производство

единицы продукции ⁼ Количество продукции

В данном случае применение средней арифметической невозможно, поскольку неизвестно количество единиц продукции, т.е. знаменатель формулы, но мы знаем, что количество продукции можно узнать, если затраты на производство по каждому предприятию разделим на себестоимость единицы продукции.

Для решения данной задачи следует применить формулу средней гармонической. Подставим числовые значения в формулу средней и рассчитаем среднюю себестоимость единицы продукции А по трем предприятиям:

= тыс. руб.

или 222,0 руб.

Определять среднюю величину удобнее во многих случаях через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

_{ИСС =} Суммарное значение или объем осредняемого признака

Число единиц или объем совокупности

Пример 8. Имеются следующие данные об экспорте продукции металлургического комбината:

Вид продукции	Удельный вид продукции на экспорт, %	Стоимость продукции на экспорт, тыс. руб.
Сталь арматурная	42,0
Прокат листовой	30,0

Определить средний удельный вес продукции на экспорт.

В данном случае воспользуемся логической формулой средней величины, чтобы определиться с видом средней:

Удельный вес _{Стоимость продукции на экспорт}

продукции на = ──────────────────

экспорт, % ^{Стоимость всей продукции}

В этой формуле неизвестны значения знаменателя, следовательно искомую среднюю величину будем находить по формуле средней гармонической взвешенной.

- стоимость продукции на экспорт;

х – удельный вес продукции на экспорт;

_ _{стоимость всей продукции.}

х

Средний удельный вес продукции на экспорт:

= или 34,3%

Порядок (правило) выбора формы средней:

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя её логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как произведения этих показателей (x∙ f), то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, средняя вычисляется по формуле средней гармонической.

Модой в статистике называют наиболее часто встречающееся значение признака в вариационном ряду. В дискретном ряду она определяется по наибольшей частоте. Медианой в статистике называют значение признака в возрастающем или убывающем вариационном ряду, которое находится в середине ряда. Медиана делит все единицы совокупности на две части: со значениями ниже и выше значения медианы.

Рассчитаем моду и медиану в дискретном ряду распределения.

Пример 9. По данным выборочного обследования семьи района получено распределение семей по размеру совокупного дохода на одного члена семьи. Необходимо найти моду и медиану.

Таблица 2.5

Дата добавления: 2014-11-06