Методические указания для выполнения заданий 2 страница

Общее решение данного уравнения

Найдём частное решение, взяв для отыскания

В равенства (1) и (2) подставим начальные условия: , тогда

Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения» рассмотрена в пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах ч. , гл. ,

Задание 391-400

Вычислить криволинейный интеграл по дуге линии, заданной параметрически

Тогда

Задание 421-430

Исследовать сходимость числового ряда

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌ Для исследования данного ряда применяем признак Даламбера:

· , ряд расходящийся, сходящийся, нет ответа по данному признаку.

по данному условию, составим

Значит данный ряд сходящийся.

Задание 431-440

Найти область сходимости степенного ряда

Прежде всего определяется радиус сходимости степенного ряда

Значит интервал сходимости

На границах интервала рассматриваются числовые ряды.

При

Так как предел то ряд расходится.

При –знакочередующийся ряд.

1. Рассмотрим члены ряда по абсолютной величине

Члены ряда возрастают, значит по теореме Лейбница при ряд расходящийся.

Задание 441 – 450

Вычислить определённый интеграл с точностью 0,001, Разложим подынтегральную функцию в ряд, а затем проинтегрируем её почленно.

.

Используя разложение в ряд Маклорена функции

, запишем разложение

Проинтегрировав, получим:

Значение интеграла (по теореме Лейбница) соответствует сумме с точностью 0,001.

Шестое слагаемое, поэтому взято пять слагаемых.

Типовые задачи по теме «Ряды» рассматриваются в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. , гл. ,§§1-6.

Задание 451 – 460.

Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего данному условию

Используем разложение искомой функции в ряд Тейлора около точки .

В нашем примере т.е. первый член ряда обращается в ноль.

Из заданного дифференциального уравнения

Поэтому второй член ряда имеет вид . Чтобы найти третий член ряда продифференцируем обе части нашего уравнения

И поэтому следующий член ряда равен . Аналогично

Третий ненулевой член ряда

Окончательно:

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл. , §4.

Задание 461 – 470

Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале

Рядом Фурье периодической функции с периодом , определённой на сегменте называется ряд

где (1)

В случае, когда чётная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

В случае, когда нечётная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

Если ряд (1) сходится то его сумма есть периодическая функция с периодом

Теорема Дирихле. Пусть функция на сегменте имеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва рода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента и сумма этого ряда:

1) во всех точках непрерывности функции , лежащих внутри сегмента ;

2) , где - точка разрыва I рода функции ;

3) на концах промежутка, т.е. при

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную в интервале уравнением .

Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точки Сумма ряда Фурье является периодической функцией с периодом и совпадает с функцией в интервале .

Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,

Далее, находим коэффициенты Имеем

Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подъинтегральная функция второго интеграла является нечётной как произведение чётной функции на нечётную). Итак,

Найдём теперь коэффициенты

Первый интеграл равен нулю. Подъинтегральная функция второго интеграла является чётной как произведение двух нечётных функций. Таким образом,

Интегрируя по частям, получим

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

Ряды Фурье рассматриваются в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл. 3, §8.

Задание 481 – 491.

Представить где в виде ; проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение её производной в заданной точке

Здесь мы воспользовались формулой Эйлера

Необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке являются условия Коши – Римана

Находим частные производные

Т.е. условия Коши – Римана выполнены во всех точках комплексной плоскости. Кроме того, частные производные непрерывны всюду. Следовательно, заданная функция дифференцируема и является аналитической на всей комплексной плоскости.

Производная может быть найдена по тем же формулам, что для функций действительного переменного.

В заданной точке

Типовые задачи по теме «Производная функции комплексного переменного» рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VII, §§1,2.

Задание 491 – 500.

Используя теорему о вычетах, вычислить заданный интеграл по замкнутому контуру С, обходимому против часовой стрелки.

Основные определения и теорема.

Точка называется полюсом к-того порядка функции , если

Пусть – полюс n-го порядка функции . Вычет функции относительно её полюса n-го порядка вычисляется по формуле

(residue– вычет).

Если – полюс первого порядка (простой полюс) функции , то

Пусть – аналитическая функция в замкнутой области , кроме конечного числа изолированных особых точек (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области , равен произведению на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.

.

(Основная теорема о вычетах).

Пример:

Найти Где – окружность, ,полюс ы i, – i, 2 находятся внутри замкнутого контура .

Отсюда

Типовые задачи по теме «Применение вычетов к вычислению интегралов» рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VII, §6.

Задание 501 – 510.

Найти оригинал , которому соответствует изображение Лапласа .

Если изображение является правильной рациональной дробью, то его следует представить в виде суммы элементарных дробей, т.е. дробей вида

Это можно сделать методом неопределённых коэффициентов (как это делалось при интегрировании рациональных дробей). Количество неопределённых коэффициентов должно совпадать со степенью знаменателя. В нашем случае

– неопределённые коэффициенты. Они находятся из тождества.

Придавая различные значения или приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части тождества, получим систему уравнений для неизвестных Например:

Для отыскания оригинала следует использовать таблицу изображений основных элементарных функций.

В этой таблице изрображению соответствует оригинал Применив эту формулу, находим:

Таблицу изображений, а также примеры отыскания изображений и оригиналов, можно найти в пособии П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.М. Кожевникова. Высшая математика в решениях и задачах, ч. гл. VIII, §§1,2.

Задание511 -520

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.

,

Пусть оригиналу соответствует изображение , т.е. Тогда ; ;

По таблице изображений Переходим в заданном уравнении к изображениям ,

или ; .

Разложим эту рациональную дробь на простейшие дроби:

,

.

Полагая , получаем , т.е. ; при имеем , т.е. . Уравнивая коэффициенты при , получим ,

т. е. . Следовательно, . Откуда по таблице изображений .

Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений рассматривается в учебном пособии П.Е. Данко, А.Г. Попов,

Т.М. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VIII, §4.

Теоретические материалы и примеры решения задач, соответствующих № 521-530,531-540, 541-550, 551-560,571-580 можно найти в учебных пособиях

П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.М. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.V; Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

Литература

Основная литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления [Текст] / Н.С. Пискунов. В 2-х т. – М.: Интеграл-Пресс, 2005.

2. Шолохович Ф.А., Васин В.В. Основы высшей математики. [Текст] /

Ф.А. Шолохович, В.В. Васин. – Екатеринбург, Изд-во УрГУ, 2004.

3. Шипачев В.С. Основы высшей математики. [Текст] / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2004.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. [Текст] / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2004.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т..Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. В 2 ч. – М.: Высшая школа, 2007.

Дополнительная литература:

6. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. [Текст] / Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. – М.: ООО "Изд. Астрель", 2001

ЗАДАНИЯ и методические указания к выполнению

Дата добавления: 2014-11-07