Простір і час

Контрольных работ по дисциплине

«математика»

Подписано в печать. Формат 60х84/16. Бумага для множ. аппаратов.

Печать плоская. Усл. печ. л. Уч.-изд. л..Тираж экз.

ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

Ризограф ФГАОУ РГППУ, Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.

У наш час вже нікого не потрібно переконувати у тому, що фізика є фундаментом природничонаукової та інженерної освіти, оскільки вона глибоко впливає на розвиток інших наук та різних галузей техніки. Разом із іншими природничими науками фізика вивчає об'єктивні властивості навколишнього нас матеріального світу. Одним із основних у фізиці є вчення про будову матерії, яка охоплює два відомі її види: речовина і поле.

Об'єкти навколишнього світу – матеріальні тіла - не залишаються незмінними, а із часом можуть змінювати своє взаємне розташування, форму, розміри, агрегатний стан, фізичні і хімічні властивості і так далі. Будь-які зміни, які відбуваються у навколишньому нас світі, є рухом матерії. Рух є спосіб існування матерії. Фізика вивчає найзагальніші форми руху матерії: механічну, теплову, електромагнітну, атомну і ядерну, а також їхні взаємні перетворення. Загальною мірою різних форм руху матерії є енергія. Різні фізичні форми руху матерії якісно можуть перетворюватись одна на одну, але сама матерія не знищувана і не відтворювана. Фізика є точною наукою, оскільки вивчає кількісні закономірності явищ. Це експериментальна наука, оскільки багато її законів базуються на фактах, встановлених дослідним шляхом.

Фізика – основа природознавства. Теорії і методи фізики широко використовуються у астрономії, хімії, біології, геології і інших природничих науках. Теорія відносності і квантова механіка пояснюють ряд явищ у Всесвіті, для вивчення хімічних реакцій використовується метод мічених атомів, а атомна і молекулярна фізика входять у різні області біології. Фізичні поняття є простими, і одночасно основоположними та загальними у природознавстві. Це, насамперед, поняття простору, часу, руху, маси, роботи, енергії і багато інших.

Матерія існує у просторі і у часі. Простір і час не існують самі по собі, у відриві від матерії, і матерія не існує поза простором і часом.

Простір – об'єктивна реальність, форма існування матерії, яка характеризує її протяжність і об'єм; співіснування та взаємодію матеріальних об'єктів і процесів; сукупність відносин координації та розташування об'єктів один відносно одного.

Основні властивості простору:

1) Однорідність – всі точки простору володіють однаковими властивостями, - немає виділених точок простору, паралельне перенесення системи не змінює вигляду законів природи.

2) Ізотропність – всі напрямки у просторі володіють однаковими властивостями: немає виділених точок простору, а паралельне перенесення системи не змінює виду законів природи.

3) Неперервність – між двома довільними точками простору, як би близько вони не знаходились, завжди є третя.

4) Тривимірність – кожна точка простору однозначно визначається набором трьох дійсних чисел – координат X, У, Z.

5) Евклідовість – описується геометрією Евкліда. Ознакою евклідовості простору є можливість побудови в ньому декартових прямокутних координат і визначення відстані між точками співвідношенням: D L ² = D X ² + D Y ² + D Z ². Але, згідно із загальною теорією відносності Ейнштейна, при наявності у просторі тяжіючих мас воно скривлюється – стає неевклідовим.

Характер фізичних законів суттєво залежить від масштабу досліджуваних явищ. Тому прийнято говорити про мікро-, макро- і мегасвіти. Об'єктами мікросвіту є молекули і атоми, атомні ядра і елементарні частинки. До об'єктів макросвіту відносять живу клітину, людину і планету Земля. Мегасвіт – це Сонячна система і Чумацький шлях, зірки, галактики і весь Всесвіт у цілому. У мегасвіті істотну роль виконують ефекти спеціальної і загальної теорії відносності, а переважаючою взаємодією є гравітаційна. У макросвіті панує класична механіка. Мікросвіт – це «царство» квантової механіки.

Час – поняття, яке описує послідовність зміни явищ та станів матерії, а також їхню відносну тривалість. Разом із простором, час є формою існування матерії:він існує об'єктивно і пов'язаний із рухом матерії.

Основні властивості часу:

1) Однорідність – будь-які явища, що відбуваються у однакових умовах, але в різні моменти часу, протікають абсолютно однаково, за однаковими законами.

2) Неперервність – між двома моментами часу, як близько б вони не розташовувались, завжди можна виділити третій. Сьогодні у науки немає достатніх підстав говорити про дискретний (переривчастий) характер часу.

3) Односпрямованість або необоротність. Цю властивість часу можна розглядати, як наслідок другого закону термодинаміки (або закону зростання ентропії). З точки зору класичної фізики, існує абсолютний, «всесвітній час». Але сучасна фізика говорить про зворотне: не існує єдиного, «всесвітнього» ходу часу.

Загальна теорія відносності говорить про вплив на хід часу розподілу гравітаційних мас. Наприклад, поблизу масивних тіл час уповільнює свій хід, а в центрі планет час тече декілька повільніше, ніж на їхніх поверхнях. Цей ефект тим помітніший, чим більші маси небесних тіл.

Найпростішим видом руху матерії є механічний рух, який є зміною взаємного положення тіл або їхніх частин у просторі зі спливанням часу. Розділ фізики, у якому вивчають механічний рух тіл, називають механікою і, в свою чергу, розділяють на три підрозділи: кінематику, динаміку і статику. Кінематика вивчає рух тіл без урахування причин, які спричиняють або змінюють його. Динаміка досліджує закони та причини, які спричиняють рух тіл. Статика розглядає умови рівноваги системи тіл. У свою чергу, механічний рух макроскопічних тіл зі швидкостями, набагато меншими за швидкість поширення світла у вакуумі (с= 3×10⁸ м/с), вивчає класична (ньютонівська) механіка. У релятивістській механіці (теорії відносності) вивчають механічний рух макроскопічних тіл зі швидкостями, порівняними зі швидкістю поширення світла у вакуумі. А у квантовій механіці вивчається механічний рух мікроскопічних тіл – окремих атомів та елементарних частинок.

У природі не існує ні абсолютного спокою, ні абсолютного руху. Для опису механічного руху даного тіла необхідно вказати будь-яке тіло або систему тіл, які вважаються нерухомими в умовах даної задачі, і розглядати рух щодо них. Такі тіла називаються тілами відліку. Як правило, із тілом відліку пов'язують систему координат, яка дозволяє встановити положення рухомого тіла у просторі. Простою системою координат є прямокутна декартова система x, у, z. Рух відбувається не тільки у просторі, але і в часі, тому координати тіла при русі змінюються, будучи функціями часу. Для визначення моментів часу, відповідних різним положенням рухомого тіла, необхідно мати годинник, нерухомий щодо тіла відліку, який відлічує проміжки часу щодо довільно вибираного початкового моменту. Системою відліку називається сукупність тіла відліку, пов'язаної із ним системи координат, а також годинника для вимірювання часу. Розглядаючи одне і те ж саме явище у різних системах відліку, ми описуємо його за допомогою тих самих законів, які не змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої. Незмінність фізичних законів при переході від однієї системи відліку до іншої носить назву принципу відносності.

При вивченні механічних рухів реальних тіл, іноді буває зручно абстрагуватись від форми та розмірів тіла, і замінити його на рух однієї точки. Будь-яке тіло, розмірами якого можна знехтувати в умовах даної задачі, називають матеріальною точкою. (Можливість такого уявлення залежить не від розмірів тіла, а від умов задачі). Будь-яке протяжне тіло можна розглядати, як сукупність (систему) матеріальних точок. Абсолютно твердим тілом називають тіло (систему матеріальних точок), деформацією якого можна нехтувати (відстань між якими не змінюється при його русі).

Лінія, яку описує у просторі рухома матеріальна точка, називають траєкторією руху цієї точки. Залежно від типу траєкторії, розрізняють прямолінійний і криволінійний рухи, рух по колу та інші. Траєкторія даного механічного руху в різних системах відліку може мати різну форму. Як було сказано вище, фізика є дослідною наукою, тому уміння спостерігати фізичні процеси і вимірювати різні фізичні величини має особливе значення. Всі зміни, які відбуваються у навколишньому світі зі спливанням часу, оцінюються кількісно за допомогою вимірювань. Виміряти величину означає порівняти її значення із однорідною величиною, прийнятою за одиницю виміру. Одиниці фізичних величин можна встановлювати довільно, але для побудови системи одиниць фізичних величин досить вибрати декілька незалежних одна від одної одиниць. Ці одиниці фізичних величин називають основними. Міжнародна система одиниць СІ складається із семи основних одиниць: метр – одиниця довжини, кілограм – маси, секунда – часу, Ампер – сили струму, Кельвін – температури, моль – кількості речовини, кандела – сили світла. Інші одиниці фізичних величин, визначувані через основні, називаються похідними. Скалярні фізичні величини характеризуються тільки своїм чисельним значенням (модулем), а векторні величини, окрім чисельного значення, характеризують-ся ще і напрямом.

Довільний рух твердого тіла може бути представлений, як результат накладання поступального і обертального рухів. Рух тіла називають поступальним, якщо будь-яка пряма, що сполучає дві довільні точки тіла, при його русі залишається паралельною самій собі (або всі точки тіла описують паралельні траєкторії однакової довжини). Рух твердого тіла називають обертальним, якщо всі його точки описують кола, центри яких лежать на одній прямій, званій віссю обертання. Положення матеріальної точки А у просторі задають радіусом-вектором r, проведеним із початку системи координат О до точки А. При русі точки, її радіус-вектор в загальному випадку змінюється і за модулем, і за напрямом, тобто він залежить від часу r=r ( t ). Цьому векторному рівнянню еквівалентна система скалярних рівнянь x=x (t), y=y (t), z=z (t), які називають рівняннями руху матеріальної точки.

Розглянемо рух матеріальної точки на ділянці криволінійної траєкторії АВ, почавши відлік часу із моменту, коли точка знаходилась у положенні А (рис.1.1).

Рис.1.1.

Переміщення точки від А до В за проміжок часу D t зображається вектором D r. Вектор D r=r 2 -r 1, визначуваний приростом радіусу-вектора точки за цей проміжок часу називається вектором переміщення. Довжина ділянки траєкторії АВ, яку описує матеріальна точка за проміжок часу D t, називається пройденим шляхом. Шлях D S= D S (t) – це скалярна функція часу. При прямолінійному русі век-тор переміщення співпадає із відповідною ділянкою траєкторії, тому модуль переміщення úD r ê дорівнює пройденому шляху D S: úD r ê = D S. Векторна величина V, яка визначає і бистроту руху, і його напрямок у даний момент часу, називається швидкістю руху. Середня швидкість <V> на ділянці траєкторії АВ визначається відношенням вектора переміщення D r до проміжку часу D t,протягом якого цей приріст відбувся (рис.1.2):

Рис.1.2.

(1.1)

Напрямок вектора середньої швидкості співпадає із напрямком вектора переміщення. Миттєва швидкість V – швидкість точки у кожний момент часу – це векторна величина, визначувана першою похідною радіусу-вектора рухомої матеріальної точки за часом:

(1.2)

На границі при D t ®0 хорда АВ співпадає із дотичною, тому вектор V миттєвої швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху. Оскільки модуль вектора переміщення úD r ê для малої ділянки траєкторії співпадає із довжиною шляху D S, то:

(1.3)

тобто, модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній шляху за часом. Одиниця виміру швидкості – метр за секунду (м/с). Рух тіла зі сталою швидкістю (V=const) називають рівномірним. Якщо матеріальна точка здійснює плоский рух (при якому всі точки її траєкторії лежать у одній площині), то модуль вектора швидкості визначається формулою: де V_x=V× cos a, V_y=V× sin a - проекції вектора швидкості на осі координат.

Швидкість руху може змінюватись як за модулем, так і за напрямком. Бистрота зміни швидкості точки характеризується вектором прискорення а. Зміна швидкості на ділянці траєкторії АВ за проміжок часу D t становить D V=V ₂ -V ₁, де V ₁ – швидкість у точці А, V ₂ – швидкість у точці В. Середнім прискоренням називається векторна величина, яка дорівнює відношенню зміни швидкості D V до інтервалу часу D t, за який ця зміна відбулась (рис.1.3):

(1.4)

Вектор середнього прискорення < а > співпадає за напрямком із вектором зміни швидкості D V.Миттєве прискорення у будь-який момент часу (у точці А траєкторії) можна одержати як границю вектора середнього прискорення при D t ®0, тобто:

(1.5)

Отже, прискорення – векторна величина, визначувана першою похідною швид-

Рис.1.3.

кості за часом. Одиниця прискорення – метр в секунду за секунду (м/с^2). Вектор зміни швидкості D V можна розікласти на дві складові: D Vt - уздовж дотичної до траєкторії та D Vn – перпендикулярну (по нормалі) до траєкторії. D Vt визначає бистроту зміни швидкості за модулем, а D Vn визначає бистроту зміни швидкості за напрямком за проміжок часу D t (рис.1.3):

(1.6)

Повне прискорення точки має дві взаємно перпендикулярні складові: тангенціальну а_t і нормальну а_n. Перша із них а_t співпадає за напрямом зі швидкістю і визначає бистроту зміни її модуля. Модуль тангенціального прискорення дорівнює

Рис.1.4.

похідній модуля швидкості за часом (рис.1.4): (1.7) Нормальна складова прискорення аn характеризує зміну швидкості за напрямом і співпадає із нормаллю до траєкторії руху (спрямована до центру її кривини). Розрахунки показують, що модуль нормального прискорення визначається співвідношенням:

(1.8)

де R – радіус кривини траєкторії. Повне прискорення а матеріальної точки при її криволінійному русі дорівнює геометричній сумі тангенціальної і нормальної його складових:

(1.9)

Модуль повного прискорення обчислюється за теоремою Піфагора:

(1.10)

Рух зі сталим прискоренням (a=const) називається рівнозмінним. Якщо а >0 – рух рівноприскорений, якщо а <0 – равносповільнений. В залежності від співвідношення між тангенціальною та нормальною складовими прискорення, класифікують декілька видів руху:

Значення аt	Значення аn	Вид руху
		Прямолінійний рівномірний.
a= const		Прямолінійний рівно змінний.
a=f (t)		Прямолінійний із змінним прискоренням.
	а= const	Рівномірний по колу.
	¹0	Рівномірний криволінійний.
a= const	¹0	Криволінійний рівно змінний.
a=f (t)	¹0	Криволінійний із змінним прискоренням.

Для визначення шляху S, пройденого точкою за проміжок часу від деякого моменту часу t₁= 0до моменту t₂=t, необхідно знати функціональну залежність її швидкості від часу V(t). Пройдений шлях визначається інтегруванням цієї залежності і чисельно дорівнює площі фігури під кривою, яка її зображає. Наприклад, для рівномірного руху (V=const):

(1.11)

Для рівнозмінного руху:

(1.12)

(Знак «+» відноситься до прискореного руху, а «-» - до сповільненого).

При обертальному русі твердого тіла його точки, які знаходяться на різних

Рис.1.5.

відстанях ri від осі обертання, за рівні проміжки часу проходять різні шляхи. Отже, всі вони мають різні швидкості та прискорення (рис.1.5). Якщо радіус кола, описуваного деякою точкою дорівнює r, а її лінійне переміщення (довжина дуги кола) дорівнює dS, то кут повороту радіус-вектора точки (її кутове переміщення) складає dj=dS/r, і є однаковим для всіх точок тіла. Окрім кута повороту, кінематичними характеристиками обертального руху є кутова швидкістьw і кутове прискорення e. Якщо тіло за проміжок часу D t повертається на кут D j

то швидкість його обертання характеризується кутовою швидкістю, визначуваною першою похідною від кута повороту тіла за часом:

(1.13)

Вектор w спрямований уздовж осі обертання (його називають аксіальним вектором) за правилом правого гвинта: якщо напрям обертання правого гвинта співпадає із обертанням тіла, то вістря гвинта указує напрям вектора кутової швидкості (рис.1.6). Якщо w=const, то обертальний рух називають рівномірним. Час одного повного обороту тіла навколо осі обертання називається періодом обе-ртання Т, а величину n, зворотну періоду (n= 1 /Т), - частотою. Частота обертання визначається кількістю повних обертів тіла, здійснюваних ним при рівномірному обертанні за одиницю часу. За час одного періоду кут повороту радіус-вектора точки становить 2 p радіан. Тому, для повного оберту при рівномірному обертанні маємо:

(1.14)

Одиниця виміру кутової швидкості – радіан в секунду (рад/с). Особливістю рівномірного обертального руху точки є те, що навіть при сталій за модулем швидкості, такий рух все одно є прискореним, оскільки при V= constнапрямок швидкості весь час змінюється. Прискорення точки, рівномірно рухомої по колу, у будь-який момент часу є нормальним (доцентровим), спрямованим по радіусу до цен-тру кола, перпендикулярно вектору швидкості.

Бистроту зміни кутової швидкості характеризують кутовим прискоренням. Якщо за проміжок часу D t кутова швидкість тіла, що обертається, одержує приріст D w, то кутовим прискоренням називається векторна величина, визначувана першою похідною кутової швидкості за часом (або другою похідною від кута поворо-

Рис.1.6.

ту радіус-вектора точки за часом): (1.15) При прискореному обертанні, напрямок вектора eспівпадає із напрямком вектора кутової швидкості w (визначається правилом правого гвинта), а при спо-вільненому обертанні - спрямований протилежно йо-

му (рис.1.6). Одиниця виміру кутового прискорення – радіан в секунду за секунду (рад/с²). Обертання тіла зі сталим кутовим прискоренням (e= const)називають рівнозмінним. При такому русі, його кінематичні характеристики зв'язані між собою формулами, подібними до співвідношень для поступального руху, а саме:

(1.16)

(Знак «+» відноситься до прискореного обертання, а «-» - до сповільненого).

Співвідношення між кінематичними характеристиками поступального і обертального руху можна одержати, використовуючи співвідношення: dS=R×dj, де dS – довжина дуги кола, dj - центральний кут, на який вона спирається, R – його радіус. Диференціюючи це співвідношення за часом, одержуємо зв'язок між лінійною швидкістю V руху точки по колу із кутовою швидкістю її обертання w:

, або (1.17)

Диференціюючи одержане співвідношення за часом ще один раз, одержимо зв'язок між лінійним тангенціальним прискоренням точки та кутовим прискоренням її обертання:

або (1.18)

Зв'язок лінійного нормального прискорення із кутовою швидкістю обертання точки має такий вигляд:

(1.19)

ЛЕКЦІЯ № 2

Дата добавления: 2014-11-07