Теорема Гаусса

Для того, щоб силові лінії характеризували не тільки напрямок, але і значення напруженості електростатичного поля, їх проводять із визначеною густотою: кількість ліній напруженості, які пронизують одиничну площадку, перпендикулярну лініям напруженості, мусить дорівнювати модулю вектора Е (Рис.7.7).

	Інтенсивність електричного поля характеризують фізичною величиною, званою потоком вектора напруженості через елементарну площадку dS і визначуваною співвідношенням: (7.16) де - вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрямок вектора збігається із напрямом нормалі n до пло-
Рис.7.7.

щадки (вибір напрямку n (а отже і d S), умовний. Потік вектора напруженоcті через замкнуту поверхню S визначається інтегруванням:

(7.17)

Потік вектора Е - скалярна величина, яка залежить від конфігурації поля та від вибору напрямку нормалі. Для замкнутих поверхонь за позитивний напрямок приймається зовнішня нормаль, спрямована назовні області, охоплюваної цією поверхнею. Одиницею виміру потоку вектора напруженості служить 1 Вольтметр – потік напруженості крізь поверхню площею 1 м², перпендикулярну силовим лініям поля, напруженістю 1 В/м: [ F_Е ]=[1 В/м´1 м²]=[1 В×м]. Потік вектора Е крізь

Рис.7.8.

сферичну поверхню радіуса r, яка охоплює точковий заряд q (Рис.7.8): (7.18) Цей результат справедливий і для замкнутої поверхні будь-якої форми, оскільки якщо оточити сферу r довільною замк-нутою поверхнею, то кожна лінія напруженості, яка прони-

зала сферу, пройде і через цю поверхню. Розрахуємо потік вектора Е крізь довільну замкнуту поверхню, яка оточує n- зарядів. Згідно із принципом суперпозиції, , тому

(7.19)

Кожний із інтегралів під знаком суми, дорівнює q_i/e₀, тому:

(7.20)

Тут Е _і – напруженість поля, створювана зарядом q_i. Цей вираз і уявляє собою теорему Гаусса для випадку дискретного розподілу зарядів, яка формулюється так: потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі охоплених цією поверхнею зарядів, поділеній на електричну сталу e ₀.

Для випадку безперервного розподілу зарядів, вводиться поняття об'ємної густини заряду – фізичної величини, визначуваною зарядом, який приходиться на одиницю об'єму: r=dq/dV. Електричний заряд, який утримується в даному об¢ємі, визначається інтегруванням: . У цьому випадку теорема Гаусса формулюється так: потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює заряду, що міститься у об¢ємі, обмеженому цією поверхнею, поділеному на електричну сталу e ₀:

(7.21)

Використання цієї теореми при відповідному підборі форми замкнутої поверхні, яка охоплює заряди, дозволяє розраховувати напруженості електричних полів, створюваних зарядженими тілами правильної геометричної форми. Наведемо кілька прикладів. Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної площини (Рис.7.9а):

де - (7.22)

- поверхнева густина заряду – фізична величина, визначувана зарядом, який приходиться на одиницю площі поверхні. Напруженість поля двох нескінченних пара-

а)	б)	в)	г)
Рис.7.9. Застосування теореми Гаусса до розрахунку полів у вакуумі.

лельних різноіменно заряджених площин: у області між площинами (Рис.7.9б):

(7.23)

а праворуч і ліворуч від площин Е= 0. Напруженість поля рівномірно зарядженої сферичної поверхні радіуса R (Рис.7.9в):

(7.24)

для значень r ³ R, і E= 0 для значень r<R. Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної нитки (Рис.7.9г):

, де - (7.25)

- лінійна густина заряду – фізична величина, визначувана зарядом, який приходиться на одиницю довжини нитки.

Теорема Гаусса справедлива не тільки у вакуумі, але і для електростатичних полів як у однорідних та ізотропних, так і у неоднорідних та анізотропних діелектричних середовищах. У випадку дискретного розподілу зарядів, теорема формулюється так: потік вектора зміщення електростатичного поля у діелектрику крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі вільних електричних зарядів, які містяться усередині цієї поверхні:

(7.26)

Дата добавления: 2014-11-07