Ol — V2X 20 страница

р- + р⁺ = 0, (105,1)

где р" и р⁺—химические потенциалы электронного и позитрон-ного газов. Подчеркнем, что под р подразумевается здесь реля­тивистское выражение для химического потенциала, включающее энергию покоя часгиц (ср. § 27), которая существенным образом участвует в процессе образования пар.

¹) Энергия /пс³ = 0,51 ■ 10^е эв, так что температура mc²/k = 6-l0⁹ град.

Уже при температурах Т ~ тс² число образовавшихся (в еди­нице объема) электронных пар очень велико по сравнению с атом­ной электронной плотностью (см. примечание на следующей стра­нице). Поэтому можно с достаточной точностью считать, что число электронов равно числу позитронов. Тогда р~ = р⁺, и условие (105,1) дает: р- = р+ = 0, т.е. в равновесии химические потен­циалы электронов и позитронов должны быть равны нулю.

Электроны и позитроны подчиняются статистике Ферми; поэ­тому их число получится интегрированием распределения (56,3) с р = 0:

tf+= tf-=4-f-#-, (105,2)

О

где е дается релятивистским выражением г = cY Р² + т²с².

При Т <с; тс² это число экспоненциально мало [<лэ ехр (—те²/?¹)}. В обратном же случае, Т^>тс², можно положить е = ср, и фор­мула (105,2) даст

л^ = л/-=1(ТУ?-^-

Стоящий здесь интеграл выражается через £-функцию (см. сноску на стр. 191), и получается¹)

^-iV--^QV-0,183(£)V. (105,3)

Тем же путем найдем энергию позитронного и электронного газов:

_Е+-_Е- ₌ УТ (TV} *^3dx - ⁷"^2?м у П05 4)

Эта величина составляет 7/8 от энергии черного излучения в том же объеме.

Задача

Определить равновесную плотность электронов и позитронов при T<^.tnc². Решение. С помощью выражения (46,1а) для химического потенциала (к которому следует добавить тс²) получим

где n~^=N-JV, n+ — N⁺fV—плотности электронов и позитронов. Если п₀ — начальная плотность электронов (в отсутствие образования пар), то «- ==п ⁺ + «₀. и мы получаем

*) При Т ~ тс² объем, приходящийся на одну образовавшуюся пару, ~ф,/тс)³. Этот объем очень мал по сравнению с атомным объемом—кубом воровского радиуса (&²//яе^!)³.

л„,Гл!, 1 /тс\* { Т у (2тс*\У^/2

ГЛАВА XI

СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА ПРИ ОЧЕНЬ БОЛЬШИХ ПЛОТНОСТЯХ

§ 106. Уравнение состояния вещества при больших плотностях

Принципиальный интерес представляет исследование свойств вещества при чрезвычайно больших плотностях. Проследим ка­чественно за изменением этих свойств по мере постепенного уве­личения плотности.

Когда объем, приходящийся на один атом, становится меньше обычных атомных размеров, атомы теряют свою индивидуальность, так что вещество превращается в сильно сжатую электронно-ядер­ную плазму. Если температура вещества не слишком высока, то электронная компонента этой плазмы представляет собой вырож­денный ферми-газ. В конце § 57 было Отмечено своеобразное свой­ство такого газа: его идеальность возрастает по мере увеличения Плотности. Поэтому при достаточном сжатии вещества роль вза­имодействия электронов с ядрами (и друг с другом) становится несущественной, так что можно пользоваться формулами идеаль­ного ферми-газа. Согласно условию (57,9) это наступает при выполнении неравенства

"■>(№•

где п_е—плотность числа электронов, т_е—масса электрона, Z— некоторый средний атомяый номер вещества. Отсюда получаем для полной плотности массы вещества неравенство

р> m'Z*~20Z* г/см\ (106,1)

*) Во всех численных оценках в этом параграфе принимается, что средний атомный вес вещества вдвое больше его среднего атомного номера, так что т' равно удвоенной массе нуклона. Укажем, что температура вырождения электронов, соответствующая плот­ности вещества р ~ 20Z" г[см*-, порядка величины 10»Z*^/S град.

где т'—масса, приходящаяся на один электрон, так что p—n_em^fl). Что касается «ядерного газа», то благодаря большой массе ядра он еще может быть далек от вырождения, но его вклад, например,

в давление вещества во всяком случае совершенно несуществен по сравнению с давлением электронного газа.

Таким образом, термодинамические величины вещества в рас­сматриваемых условиях определяются полученными в § 57 фор­мулами, примененными к электронной компоненте. В частности, для давления имеем¹)

^{(3ге2)2/3 Р} (^р V^/3. (106,2)

Условие для плотности (106,1) дает для давления численное не­равенство Р^>5- 10⁸Z¹⁰/³ бар.

В написанных формулах электронный газ предполагается не­релятивистским. Это требует малости граничного импульса Ферми Рр по сравнению с тс (см. § 61), что приводит к численным неравенствам

р<2' 10⁶ г 1см³, Р<^№бар.

Когда плотность и давление газа становятся сравнимыми с ука­занными значениями, электронный газ делается релятивистским, а при выполнении обратных неравенств — ультрарелятивистским. В последнем случае уравнение состояния вещества определяется формулой (61,4), согласно которой²)

Р ₌ Щ^ь1ру\ (юм

Дальнейшее повышение плотности приводит к состояниям, в которых термодинамически выгодными оказываются ядерные ре­акции, заключающиеся в захвате электронов ядрами (с одновре­менным испусканием нейтрино). В результате такой реакции уменьшается заряд ядра (при неизменном его весе), что, вообще говоря, приводит к уменьшению энергии связи ядра, т. е. умень­шению его масс-дефекта. Энергетическая невыгодность такого процесса при достаточно больших плотностях вещества с избытком компенсируется уменьшением энергии вырожденного электронного газа вследствие уменьшения числа электронов.

¹)Численно эта формула дает Р= 1,0-10¹³ (р/Л')^6/3 дан/см² =1,0-10' (р/Л')^6/3 бар, (106,2а) где А' = т'/т_п— атомный вес вещества, приходящийся на один электрон (т„ — масса нуклона); р измеряется в г/см³. О поправках к формуле (106,2), связанных с кулоновским взаимодействием частиц, шла речь в § 80. ²) С теми же обозначениями, что и в (106,2а), Р =1,2- 10^й (р/Л')^4/3 бар. (106,3а)

Не представляет труда написать термодинамические условия, определяющие «химическое равновесие» описанной ядерной реакции, которую можно записать в виде символического равенства

где А_г обозначает ядро с весом А и зарядом Z; е~—электрон, v—нейтрино. Нейтрино не задерживаются веществом и покидают тело; такой процесс должен вести к непрерывному охлаждению тела. Поэтому тепловое равновесие в этих условиях имеет смысл рассматривать, только принимая температуру вещества равной нулю- Химический потенциал нейтрино при этом в уравнение равновесия не должен входить. Химический потенциал ядер опре­деляется в основном их внутренней энергией, которую мы обо­значим посредством —г_Д2 (энергией связи обычно называют положительную величину г_А<г). Наконец, обозначим посредством р_е(п_е) химический потенциал электронного газа как функцию плотности п_е числа частиц в нем. Тогда условие химического равновесия напишется в виде —вл^ + Ие (п_е) — — £a,z-i ^или> вводя обозначение e_AtZ—e_/iiZ_₁=A:

р_г (п_е) = А.

Воспользовавшись формулой (61,2) для химического потенциала ультра релятивистского вырожденного газа, получаем отсюда

Таким образом, условие равновесия приводит к некоторому постоянному значению электронной плотности. Это значит, что при постепенном увеличении плотности вещества рассматриваемая ядерная реакция начнется, когда электронная плотность достиг­нет значения (106,4). При дальнейшем сжатии вещества все большее число ядер будет захватывать по электрону, так что общее число электронов будет уменьшаться, но их плотность будет оставаться неизменной. Вместе с электронной плотностью будет постоянным также и давление вещества, которое по-преж­нему определяется в основном давлением электронного газа; именно, подстановка (106,4) в (106,3) дает

^p=idw- ^(10б-⁵⁾

Так будет продолжаться до тех пор, пока все ядра не захватят по электрону.

При еще больших плотностях и давлениях будет происходить дальнейший захват электронов ядрами, сопровождающийся даль­нейшим уменьшением заряда последних. В конце концов ядра, содержащие слишком много нейтронов, станут неустойчивыми и распадутся. При плотности р~3-10¹¹ г/см? (и давлении Р~ 10^мбар) нейтроны начинают преобладать по своему числу над электро­нами, а уже при р~10¹⁸ г/сле³ начинают преобладать и по соз­даваемому ими давлению (F. Hund, 1936). Здесь начинается область плотностей, в которой вещество можно рассматривать в основном как вырожденный нейтронный ферми-газ с небольшой примесью электронов и различных ядер, концентрации которых определяются условиями равновесия соответствующих ядерных реакций. Уравнение состояния вещества в этой области есть

Р = ⁽³"У^/3 4тгР^6/3 = 5,5- 10³р^5/3 бар, (106,6)

где т_п—масса нейтрона.

Наконец, при плотностях р^> 6-10¹⁵ г/см⁹ вырожденный ней­тронный газ станет ультрарелятивистским, а уравнение состояния будет определяться формулой

р =®%1%с (£)^4/3 = 1,2- 10V^/3 бар. (106,7)

Следует, однако, иметь в виду, что при плотностях порядка плотности вещества ядер становятся существенными специфиче­ские ядерные силы (сильное взаимодействие нуклонов). В этой области значений плотности формула (106,7) может иметь лишь качественный смысл. При современном состоянии наших знаний о сильных взаимодействиях нельзя сделать сколько-нибудь опре­деленных заключений и о состоянии вещества при плотностях, значительно превосходящих ядерную. Отметим лишь, что в этой области следует ожидать возникновения, наряду с нейтронами, также и других частиц. Поскольку частицы каждого рода запол­няют свой отдельный ряд состояний, то превращение нейтронов в другие частицы может оказаться термодинамически выгодным вследствие уменьшения граничной энергии фермиевского распре­деления нейтронов.

§ 107. Равновесие тел с большой массой

Рассмотрим тело очень большой массы, части которого удер­живаются вместе силами гравитационного притяжения. Реальные тела большой массы известны нам в виде звезд, непрерывно из­лучающих энергию и отнюдь не находящихся в состоянии теп­лового равновесия. Представляет, однако, принципиальный интерес рассмотрение равновесного тела большой массы. При этом мы будем пренебрегать влиянием температуры на уравнение состояния, т. е. будем рассматривать тело находящимся при абсолютном нуле («холодное» тело). Поскольку в реальных условиях температура наружной поверхности значительно ниже, чем внутренняя тем­пература, рассмотрение тела с отличной от нуля постоянной температурой во всяком случае лишено физического смысла.

Будем далее предполагать тело невращающимся; тогда в равно­весии оно будет иметь сферическую форму, и распределение плот­ности в нем будет центрально-симметричным.

Равновесное распределение плотности (и других термодинами­ческих величин) в теле будет определяться следующими урав­нениями. Ньютоновский гравитационный потенциал ср удовлетво­ряет дифференциальному уравнению

Аф = 4яОр,

где р—плотность вещества, G — ньютоновская гравитационная постоянная; в центрально-симметричном случае имеем

Шг*%)=**в_Р. (107,1)

г² dr \ dr

Кроме того, в тепловом равновесии должно выполняться условие (25,2); в гравитационном поле потенциальная энергия частицы с массой т' есть /п'ср, так что имеем

р + т'ф = const, (107,2)

где т'—масса частицы тела, а у химического потенциала веще­ства в отсутствие поля для краткости опущен индекс нуль. Выразив Ф через р из (107,2) и подставив в уравнение (107,1), мы можем написать последнее в виде

^(^r2f)=-^WGp- ⁽¹⁰⁷'³⁾

При увеличении массы гравитирующего тела возрастает, ес­тественно, и его средняя плотность (это обстоятельство будет подтверждено следующими ниже вычислениями). Поэтому при достаточно большой полной массе М тела можно, согласно из­ложенному в предыдущем параграфе, рассматривать вещество тела как вырожденный электронный ферми-газ—сначала нереляти­вистский, а затем, при еще больших массах, релятивистский.

Химический потенциал нерелятивистского вырожденного элект­ронного газа связан с плотностью тела р равенством

(Зл²)^2/3 Й²
P = -^L"T--------------------- ^ТГР⁷ (¹⁰⁷-⁴)

(формула (57,3), в которую подставлено p = m'N/V; т'—масса, приходящаяся на один электрон, т_е—электронная масса). Выра­зив отсюда р через р и подставив в (107,3), получим следующее уравнение *):

*) Легко видеть, что для электрически нейтрального газа, состоящего из электронов и атомных ядер, условие равновесия можно писать в виде (107,2)

1 d (du\ 2~"²m^zJ*m'*G-

Обладающие физическим смыслом решения этого уравнения не должны иметь особенности в начале координат: р,—► const при г—>-0. Это требование автоматически приводит к условию для первой производной

$ = 0 при г = 0, (107,6)

как это непосредственно следует из уравнения (107,5) после ин­тегрирования по dr:

о

Ряд существенных результатов можно получить уже путем применения к уравнению (107,5) простых соображений размер­ности. Решения уравнения (107,5) содержат лишь два постоянных параметра — постоянную к и, например, радиус тела R, заданием которого однозначно определяется выбор решения. Из этих двух величин можно образовать всего одну величину с размерностью длины—самый радиус R, и одну величину с размерностью энер­гии: l/k²R* (постоянная к имеет размерность см~²-эрг~^1/2). Поэтому ясно, что функция р(г) должна иметь вид

1*(')=;й?г/(т?). (107,7)

где f—некоторая функция только от безразмерного отношения r/R. Поскольку плотность р пропорциональна р,³/², то распреде­ление плотности должно иметь вид

с химическим потенциалом электронов в качестве р, и с массой, приходящейся на один электрон, в качестве т'. Действительно, вывод этого условия равно­весия (§ 25) связан с рассмотрением переноса бесконечно малого количества вещества из одного места в другое. Но в газе, состоящем из заряженных ча­стиц обоих знаков, такой перенос надо представлять себе как перенос некото­рого количества нейтрального вещества (т. е. электронов и ядер вместе). Разъ­единение зарядов обоих знаков энергетически весьма невыгодно благодаря возникающим при этом очень большим электрическим полям. Поэтому мы получим условие равновесия в виде Шд + ^Щл + («яд + Zm_9S) ф = 0 (на одно ядро приходится Z электронов). Вследствие большой массы ядер (по сравнению с массой электронов) их химический потенциал очень мал по срав­нению с |л_эл. Пренебрегая р_яд и разделив уравнение на Z, получим ii_ajs + m'(p = 0. Как и в § 106, при численных оценках в этом параграфе будем полагать т' равной удвоенной массе нуклона (т' = 2от„).

/ _ч const,-, / г \

Таким образом, при изменении размеров сферы распределение плотности в ней меняется подобным образом, причем в подобных точках плотность меняется обратно пропорционально R". В част­ности, средняя плотность сферы будет просто обратно пропор­циональна R":

Полная же масса М тела, следовательно, обратно пропорцио­нальна кубу радиуса:

Эти два соотношения можно написать также в виде

RcnM~^l'\ рслМ². (107,8)

Таким образом, размеры равновесной сферы обратно пропорцио­нальны кубическому корню из ее полной массы, а средняя плот­ность пропорциональна квадрату массы. Последнее обстоятельство подтверждает сделанное выше предположение о том, что плотность гравитирующего тела растет с увеличением его массы.

Тот факт, что гравитирующая сфера из нерелятивистского вырожденного ферми-газа может находиться в равновесии при любом значении полной массы М, можно было усмотреть заранее из следующих качественных соображений. Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональна N (N/V)^2/s (см. (57,6)), или, что то же, M^5/3/R*, а гравитационная энергия газа в целом отрицательна и пропорциональна M²/R. Сумма двух выражений такого типа может иметь минимум (как функция от R) при любом М, причем в точке минимума Rzr> M~^llz.

Подставляя (107,7) в (107,5) и вводя безразмерную перемен­ную % — r/R, найдем, что функция /(|) удовлетворяет уравнению

с граничными условиями /'(0) = 0, /(1) = 0. Это уравнение не может быть решено в аналитическом виде и должно интегриро­ваться численно. Укажем, что

/(0) =178,2, /'(1)==-132,4.

С помощью этих численных значений легко определить зна­чение постоянной MR³. Умножив уравнение (107,1) на г² dr и интегрируя от 0 до R, получим

откуда

MR* = 91,9 ■ *' = 2,2- Ю»(%)* © км\ (107,10)

_:5,99.

где О = 2 - 10³³ г—масса Солнца. Наконец, для отношения цент­ральной плотности р (0) к средней плотности р = 3Ml4nR³ легко найти

3/' (1)

Р (0) _ (01

(107,11)

На рис. 50 (кривая 1) изображен график отношения р(г)/р(0) как функции r/R *).

0,1 Ц2 03 OA 0,3 ОМ 07 0,3 0,9 1,0 ff

Рис. 50.

*) В предыдущем параграфе мы видели, что вещество можно рассматривать как йерелятивистский вырожденный электронный газ при плотностях р^>202² г/см³. Если потребовать выполнения этого неравенства для средней плотности рассматриваемой сферы, то для ее массы получится условие iW>5.10-³ZO, Этим массам -соответствуют радиусы < 5-T0*Z^-l^^s км.

Перейдем к исследованию равновесия, сферы, состоящей из вы­рожденного ультрарелятивистского электронного газа. Полная ки­нетическая энергия частиц такого газа пропорциональна N (iV/V)^l/3 (см. (61,3)), или иначе M^i/3/R; гравитационная же энергия про­порциояальна—M²/R. Таким образом, обе эти величины зависят от R одинаковым образом, и их сумма тоже будет иметь вид const-R'¹- Отсюда следует, что тело вообще не сможет находиться в равновесии: если const > 0, то оно будет стремиться рас­ширяться (до тех пор, пока газ не станет нерелятивистским); если же const < 0, то уменьшению полной энергии будет соответ­ствовать стремление R к нулю, т. е. тело будет неограниченно сжиматься. Лишь в особом случае const = 0 тело может нахо­диться в равновесии, причем в безразличном равновесии с про­извольными размерами R.

Эти качественные соображения, разумеется, полностью подтвер­ждаются точным количественным анализом. Химический потенциал рассматриваемого релятивистского газа связан с плотностью (см. (61,2)) посредством

|1 = (3яу/^а*с(^)^1/'. (107,12)

Вместо уравнения (107,5) получаем теперь

Имея в виду, что К обладает теперь размерностью эрг~²-см~², находим, что химический потенциал как функция от г должен иметь вид

*<^{Г) =} *Й'(-*")• ^{Ш7,14)

а распределение плотности

, ч const г, (т P(') = -^(tT

Таким образом, средняя плотность будет теперь обратно пропор­циональна R^s, а полная масса М со R³p оказывается не зави­сящей от размеров постоянной:

рсл-^-, М = const = М₀. (107,15)

М₀ есть единственное значение массы, при котором возможно равновесие; при М > М_й тело будет стремиться неограниченно сжиматься, а при М < М„ оно будет расширяться.

Для точного вычисления «критической массы» М_й необходимо произвести численное интегрирование уравнения

f!(^|2I) ⁼ -^ П0) = 0, /<1)-0, 007,16)

которому удовлетворяет функция / (|) в (107,14). Теперь полу­чается

/(0) = 6,897, /'(1) = —2,018.

Для полной массы находим

по

r=R m'V~X '

откуда

Положив т' — 2т_п, получим М₀= 1,45 ©. Наконец, отношение цент­ральной плотности к средней оказывается равным

Р(0)_. /³(0) о р - 3f'(D ~⁰*'^А

На рис. 50 (кривая 2) дан график р (г)/р (0) в ультрареляти­вистском случае как функции r/R *).

^г) Формальная задача о равновесии гравитирующей газовой сферы со сте­пенной зависимостью Р от р была исследована Эмденом (R. Emden, 1907). Физическое заключение о существовании и величине (107,17) предельной массы было впервые сделано Л. Д. Ландау (1932). ²) Построение промежуточной части кривой производится путем численного интегрирования уравнения (107,3) с точным релятивистским уравнением состоя­ния вырожденного газа (см. задачу 3 к § 61).

Полученные результаты о зависимости между массой и радиу­сом равновесного «холодного» сферического тела можно предста­вить во всей области измерения R в виде единой кривой, опреде­ляющей зависимость М = М (R). При больших R (и соответственно малых плотностях тела) электронный газ можно рассматривать как нерелятивистский, и функция М (R) спадает по закону М ccR^-3. При достаточно же малых R плотность настолько велика, что имеет место ультрарелятивистский случай, и функция М (R) имеет почти постоянное (равное А1₀) значение (строго говоря, М (R) —*-М„ при R—»-0). На рис. 51 изображена кривая М = М (R), вычис­ленная с m' = 2m„²). Следует обратить внимание на то, что пре­дельное значение 1,45 0 достигается лишь весьма постепенно; это связано с тем, что плотность быстро падает по мере удаления от центра тела; поэтому газ может быть уже ультрарелятивист­ским вблизи центра и в то же время нерелятивистским в зна­чительной части объема тела. Отметим также, что начальная часть кривой (слишком малые R) не имеет реального физического смысла. Действительно, при достаточно малых радиусах плотность станет настолько большой, что в веществе начнут происходить ядерные реакции. При этом давление будет возрастать с увели­

чением плотности медленнее чем р^4/3, а при таком уравнении состояния никакое равновесие вообще невозможно¹).

Наконец, эта кривая теряет смысл также и при слишком боль­ших значениях R (и малых М); как уже было указано (см. при­мечание на стр. 352), в этой области становится неприменимым использованное нами уравнение состояния вещества. В этой связи следует указать, что существует верхний предел размеров, кото­рыми вообще может обладать «холодное» тело. Действительно,

fif(0) _._:

0,2

7,2 7,0 0,8 0,6 0,4

*) Если химический потенциал пропорционален некоторой степени плотности jicop" (и соответственно Poop"*¹), то внутренняя энергия тела пропорцио­нальна Vp^{n + 1}, или иначе M"+^l/R³ⁿ; гравитационная же энергия по-прежнему пропорциональна—M²/R. Легко видеть, что при п < 1/3 сумма двух таких выражений, как функция от R, хотя и имеет экстремум, но этот экстремум является ее максимумом, а не минимумом.

большим размерам тела соответствуют на кривой рис. 51 малые массы и малая плотность вещества. Но при достаточно малых плотностях вещество будет находиться в обычном «атомном» со­стоянии, и при интересующих нас низких температурах оно будет твердым. Размеры тела, построенного из такого вещества, будут, очевидно, уменьшаться при дальнейшем уменьшении его массы, а не увеличиваться, как на рис. 51. Истинная кривая R = R (М) должна, следовательно, иметь при некотором значении М максимум.

/ т_ее², у

Порядок величины максимального значения радиуса легко определить, заметив, что он должен соответствовать плотности, при которой становится существенным взаимодействие электронов с ядрами, т. е. при

' ~ ~*⁴ Vz*

(см. (106,1)). Комбинируя это соотношение с равенством (107,10), получим

^R™~a*Zn>z» ~¹⁰⁵-^тг™- (¹⁰⁷'¹⁸>

§ 108. Энергия гравитирующего тела

Гравитационная потенциальная энергия тела £_гр определяется, как известно, интегралом

H_rp = |J_PcpdV, (108,1)

взятым по всему объему тела. Нам, однако, будет удобнее исхо­дить из другого представления этой величины, которое можно получить следующим образом. Представим себе, что тело посте­пенно «составляется» из вещества, «приносимого» из бесконечности. Пусть М(г) есть масса вещества, заключенного внутри сферы радиуса г. Предположим, что масса М (г) с некоторым опре­деленным г уже принесена из бесконечности; тогда работа, не­обходимая для доставления дополнительной массы dM (г), равна потенциальной энергии этой массы (распределенной в виде шаро­вого слоя радиуса г и толщины dr) в поле массы М(г), т. е.

GM(r)dM (г)

Поэтому полная гравитационная энергия сферы радиуса R есть
£_{rp =} -GJ^M(^. (108,2)

Продифференцировав условие равновесия (107,2), получим

dP., dw _п

^v4F+^m-dT⁼⁰

(дифференцирование должно производиться при постоянной темпе­ратуре, (d\i/dP)_T = v—объем, отнесенный к одной частице). Про­изводная—dy/dr есть сила тяготения, действующая на единицу

массы на расстоянии т от центра; она равна — GM(r)/r^a. Вводя также плотность р = га'/у, получаем

i4r—^ <¹⁰ад

Выразив отсюда GM(r)jr через dP/dr и написав dM(r) = — р (r)-4nr²dr, представим выражение (108,2) в виде

R

E_rv = 4п $ г* §-dr.

о

Интегрируя теперь по частям (и учитывая, что на границе тела Р (Я) = 0 и что г³Р —* 0 при г —>■ 0), получим

R

E_rv = — 12я ^Pr²dr = — 3 §PdV. (108,4)

о

Таким образом, гравитационная энергия равновесного тела может быть выражена в виде интеграла от его давления по объему.

Применим эту формулу к рассмотренным в предыдущем пара­графе телам из вырожденного ферми-газа. При этом произведем вычисления в общем виде, положив, что химический потенциал вещества пропорционален некоторой степени его плотности:

\i = Kp^l/n. (108,5)

т'

Имея в виду, что d\i = vdP = — dP, находим давление

^к р^{1 +} >/". (108,6)

(п + 1) "I'

В условии равновесия (p/m') + cp = const постоянная в правой стороне равенства есть не что иное, как потенциал на гра­нице тела, где р обращается в нуль; этот потенциал равен — GM/R (М = М (R) — полная масса тела), так что можно на­писать:

u GM

Подставляем это выражение в интеграл (108,1), определяющий гравитационную энергию, и, воспользовавшись формулами (108, 5—6), находим

2R

Наконец, выразив интеграл в правой части равенства через £_гр, согласно (108,4), получим

Таким образом, гравитационная энергия тела выражается простой формулой через его полную массу и радиус.

Аналогичную формулу можно получить и для внутренней энергии тела Е. Внутренняя энергия, отнесенная к одной частице, равна р,— Pv (при равной нулю температуре и энтропии); поэтому энергия, отнесенная к единице объема, есть

— (u—Pv) = Р = пР

(в последнем равенстве использованы (108, 5—6)). Поэтому внут­ренняя энергия всего тела

£ = «jPdl/ = -|£_rp = ^_r-^fl. (108,8)

Наконец, полная энергия тела

Е_аош = £ + £_rp = -.f=£- ^f-. (108,9)

Для нерелятивистского вырожденного газа имеем /г = 3/2,
так что¹)

Дата добавления: 2014-11-07