Група підстановок

Многочлен називається мінімальним многочленом матриці відносно вектора. Мінімальний многочлен єдиний.

Теорема. Степень мінімального многочлена матриці не перевершує її порядку.

Теорема. Мінімальний многочлен матриці ділить будь-який анулюючий многочлен тієї ж матриці.

Визначення. Мінімальним многочленом матриці над полем називається нормований многочлен найменшого ступеня, для якого.

Визначення. Анулюючим многочленом матриці називається многочлен, такий,.

Анулюючий і мінімальний многочлен матриці над полем

Матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли.

Розглянемо випадок, коли матриця порядку визначена над полем.

Розглянемо всі підстановочних матриць порядку. Уявимо собі, що кожна з них записана у виді таблиці на окремому листі папера у клітинку. Проріжемо у кожній таблиці віконця у тих клітинках, де елементи відповідної матриці дорівнюють одиниці. Одержимо, таким чином, сукупність підстановок у виді трафаретів.

Накладемо кожен трафарет на матрицю і перемножимо всі елементи, що у віконцях з'явилися матриці A. Результат назвемо членом визначника матриці, що відповідає підстановці.

Знайдемо суму над полем усіх членів визначника. Результат назвемо визначником матриці над полем.

Многочленом від матриці над полем називається результат послідовності операцій, записаної у формі многочлена з коефіцієнтами з поля, при.

Розглянемо послідовність,,, - мірних векторів.

На кожнім кроці будемо перевіряти, чи є система отриманих векторів залежної, або ні. На деякому кроці, вектори уперше виявляться лінійно залежними, тобто при деяких коефіцієнтах виконається співвідношення.

Теорема. Мінімальний многочлен суми векторів є найменшим спільним кратним мінімальних многочленів векторів - доданків.

Теорема. Мінімальний многочлен матриці відностно будь-якого вектора ділить мінімальний многочлен матриці.

Нехай - квадратна матриця над скінченним полем і. Послідовність,, є періодичною. Довжина періоду залежить від властивостей мінімального многочлена матриці відностно вектора.

Очевидно, найменше спільне кратне мінімальних многочленів базисних векторів відносно матриці є мінімальним многочленом цієї матриці.

Можна розглядати матриці, елементами яких є функції, скажемо, від змінної. У цьому випадку визначник матриці також є функцією від.

Многочлен називається характеристичним многочленом матриці.

Теорема Гамильтона-Кэли. Кожна матриця є коренем свого характеристичного многочлена.

Дата добавления: 2014-10-15