Решение типовых примеров. Пример. Исследовать сходимость ряда

Пример. Исследовать сходимость ряда. Найдем – необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд Сравним исходный ряд с гармоническим, который расходится. Т.к., то по первому признаку сравнения, расходится и ряд.

Пример. Исследовать на сходимость ряд Сравним этот ряд со сходящимся рядом (убывающая геометрическая прогрессия). Т.к., то ряд тоже сходится по первому признаку сравнения.

Пример. Определить сходимость ряда. Исследуем его по признаку Даламбера:, следовательно, ряд сходится по предельному признаку Даламбера.

Пример. Определить сходимость ряда. Исследуем по признаку Даламбера:. Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда. Исследуем этот ряд по радикальному признаку Коши:. Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда. Воспользуемся этим же признаком: Т.к. предел равен 1, то признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости:, таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Пример. Определить сходимость ряда. Используем интегральный признак Коши. Вычислим соответствующий несобственный интеграл

Таким образом, интеграл расходится, следовательно, исходный ряд так же расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд.

Ряд знакопеременный. Составляем ряд из его модулей:.Применим необходимый признак: ряд расходится. Проверяем условия Лейбница. Условие 2 не выполняется: ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд.

Ряд знакопеременный. Составим ряд из модулей:. Применим интегральный признак:, следовательно, интеграл расходится, а, значит, и ряд расходится.

Ряд является знакочередующимся. Проверим условия Лейбница: 1); 2). Условия выполняются, следовательно ряд сходится, причем условно.

Задача 3.

Решение задачи 3 базируется на материале темы сходимость степенных рядов. Основные теоретические моменты отразим здесь.

Степенные ряды.

Функциональным рядом называется ряд вида

, (1)

где,,.

Функциональный ряд вида

(2)

называется степенным по степеням.

Тогда ряд вида

– (3)

степенной ряд по степеням.

Ряд (3) может быть получен из ряда (2) заменой.

Множество значений, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Для ряда (3) областью сходимости является интервал, симметричный относительно начала координат (рис. 1). Для ряда (2) область сходимости – интервал, симметричный относительно точки (рис. 2).

-R 0 R x₀-R x₀ x₀+R

Рис.1 Рис. 2

Число R – половина длины интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда. В частности, если, то степенной ряд (3) сходится только в одной точке, а степенной ряд (2) сходится в точке. При степенной ряд сходится на всей числовой оси. Для отыскания радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши:

; (4)

, (5)

если этот предел (конечный или бесконечный) существует. На концах интервала сходимости степенной ряд может сходиться или расходиться, поэтому нужны дополнительные исследования.

Дата добавления: 2014-10-15