Оптимизация химико-технологических процессов с использованием уравнения регрессии

Часто математической моделью процесса называют полученное эмпирическим путем уравнение, которое отражает количественную зависимость между параметрами процесса и имеет следующий вид:

Y=f(x₁, x₂, …x_k), (7.20)

Уравнению (7.20), т.е. функции отклика, соответствует некоторая гиперповерхность в многомерном пространстве, называемом поверхностью отклика, пространство, в котором существует указанная поверхность, - факторным пространством. В простейшем случае, когда исследуется зависимость отклика от одного фактора поверхность отклика представляет собой линию на плоскости в двухмерном пространстве. В общем случае, когда рассматривается К факторов, уравнение (7.20) описывает поверхность отклика в (К+1)-мерном пространстве.

При весьма ограниченных знаниях о механизме процесса функцию отклика представляют в виде полинома (уравнения регрессии)

Y=b₀+++ +…(7.21)

где b₀, b_i, b_ij, b_ii - выборочные коэффициенты регрессии.

Так как степень полинома заранее предсказать нельзя, то сначала пытаются описать исследуемое явление самой простой линейной моделью. Далее проводят оценку ее качества - проверку модели на адекватность. Если результат оказался неудовлетворительным, повышают степень полинома, увеличивают число его членов и так до тех пор, пока не будет получена модель, адекватно описывающая результаты эксперимента. Проверка адекватности - статистическая процедура, выполняемая обычно с помощью F-критерия Фишера.

Математические модели, полученные при исследовании технологических объектов, позволяют решать ряд задач, например, осуществлять поиск оптимальных составов композиций, оптимальных условий работы исследуемого объекта (экстремальный эксперимент), проводимый с целью интенсификации производства, улучшения качества продукции.

Для получения математической модели объекта эксперименты обычно ставятся по заранее составленному алгоритму. Эта процедура называется планированием эксперимента.

По способу организации различают пассивное и активное экспериментирование. В первом случае объекты исследования наблюдают, результаты регистрируют и обрабатывают. Оценка свойств объекта в этом случае затруднена и осуществляется только по результатам многократных наблюдений. Более эффективным является целенаправленное изменение процесса и регистрации результатов, т.е. активное экспериментирование. Планировать можно только активный эксперимент.

Чтобы получить математическую модель, используют факторный эксперимент, суть которого заключается в варьировании всех факторов объекта исследования по определенному плану.

При планировании эксперимента необходимо учитывать требования к факторам и параметрам оптимизации. Важнейшими требованиями к факторам при постановке факторного эксперимента являются совместимость и некоррелированность. Совместимость означает, что внутри заданной области исследования практически осуществимы любые сочетания значений всех рассматриваемых факторов. Если же происходит нарушение режима работы изучаемого процесса, то такое сочетание факторов следует считать несовместимым, что требует изменения области определения уровней варьирования одного из факторов.

Требование некоррелированности (независимости) выдвигается для того, чтобы имелась возможность изменять значение каждого из факторов независимо друг от друга.

Поэтому перед осуществлением факторного эксперимента определяются: области существования факторов; число факторов и их взаимодействий, включаемых в план основного эксперимента; интервалы варьирования факторов; число параллельных опытов.

При планировании эксперимента предъявляются определенные требования и к параметрам оптимизации, выполнение которых необходимо для успешного решения задачи. Желательно, чтобы система во всей полноте характеризовалась небольшим числом параметров оптимизации, имеющих ясный физический смысл, что защищает экспериментатора от ошибок и упрощает технологическую интерпретацию полученных результатов.

Проверка соответствия входных и выходных параметров перечисленным требованиям осуществляется в ходе так называемого предварительного эксперимента.

Дата добавления: 2014-10-15