Інтервальні оцінки

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, який оцінюється.

Довірчим називають інтервал, який з заданою надійністю γ покриває заданий параметр.

1) Інтервальною оцінкою (з надійністю γ) математичного сподівання α нормально розподіленої кількісної ознаки X за вибірковою середньою при відомому середньому квадратичному відхиленні σ генеральної сукупності служить довірчий інтервал

де точність оцінки, n-об`єм вибірки, t- значення аргументу функції Лапласа Ф(t) (див. додаток 2), при якому Ф(t)=γ/2; при невідомому σ (і об`ємі вибірки n<30)

де s-«виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення,tзнаходять за таблицею додатка 3 по заданих n і γ.

2) Інтервальною оцінкою (з надійністю γ) середнього квадратичного відхилення σ нормально розподіленої кількісної ознаки X за «виправленим» вибірковим середнім квадратичним відхиленням s служить довірчий інтервал

де q знаходять за таблицею додатка 4 по заданих n і γ.

208. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання α нормально розподіленою ознаки X генеральної сукупності, якщо генеральне середнє квадратичне відхилення σ=5, вибіркова середня =14 і об`єм вибірки n=25.

Розв`язання. Потрібно знайти довірчий інтервал

Всі величини, крім t, відомі. Знайдемо t із співвідношення Ф(t)=0,95/2 = =0,475. За таблицею додатка 2 знаходимо t=1,96. Підставивши t=1,96, =14, σ =5, n=25, остаточно одержимо шуканий довірчий інтервал 12,04 <α <15,96.

209. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,99 невідомого математичного сподівання α нормально розподіленою ознаку X генеральної сукупності, якщо відомі генеральне середнє квадратичне відхилення σ, вибіркова середня і обсяг вибірки n: а) σ=4, =10,2, n=16; б) σ=5, =16,8, n=25.

210. Одним і тим же приладом із середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок вимірів σ=40 м проведено п'ять рівноточних вимірювань відстані від гармати до цілі. Знайти довірчий інтервал для оцінки дійсної відстані α до мети з надійністю γ=0,95, знаючи середнє арифметичне результатів вимірів =2000 м.

Передбачається, що результати вимірів розподілені нормально.

211. Вибірка з великої партії електроламп містить 100 ламп. Середня тривалість горіння лампи вибірки виявилася рівною 1000 ч. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал для середньої тривалості α горіння лампи всієї партії, якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення тривалості горіння лампи σ=40 ч. Передбачається, що тривалість горіння ламп розподілена нормально.

212. Верстат-автомат штампує, валики. За вибіркою об'єму n = 100 обчислена вибіркова середня діаметрів виготовлених валиків. Знайти з надійністю 0,95 точність σ, з якою вибіркова середня оцінює математичне сподівання діаметрів валиків,що виготовляється якщо їх середньоквадратичне відхилення σ = 2 мм. Передбачається, що діаметри валиків розподілені нормально.

213. Знайти мінімальний об`єм вибірки, при якому з надійністю 0,975 точність оцінки математичного сподівання α генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює δ = 0,3, якщо відомо середнє квадратичне відхилення σ=1,2 нормально розподіленої генеральної сукупності.

Розв’язання. Скористаємося формулою, що визначає точність оцінки математичного сподівання генеральної сукупності за вибірковою середньою: звідси .

За умовою, γ=0.975; отже, Ф(t)=0,975/2=0,4875. За таблицею додатка 2 знайдемо t=2,24. Підставивши t=2,24, σ=1,2 і δ=0,3 в (*), отримаємо шуканий обсяг вибірки n=81.

214. Знайти мінімальний об`єм вибірки, при якому з надійністю 0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою дорівнює 0,2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ=1,5.

215. З генеральної сукупності добута вибірка об'єму n = 10: варіанту x_i -2 1 2 3 4 5

частота n_i 2 1 2 2 2 1

Оцінити з надійністю 0,95 математичне сподівання а нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності за вибірковою середньою за допомогою довірчого інтервалу.

Розв’язання. Вибіркову середню та «виправлене» середньоквадратичне відхилення знайдемо відповідно за формулами:

Підставивши в ці формули дані задачі, отримаємо = 2, s = 2,4.

Знайдемо t_γ . Користуючись таблицею додатка 3, з γ = 0,95 і n = 10 знаходимо t_γ = 2,26.

Знайдемо шуканий довірчий інтервал:

Підставляючи = 2, t_γ = 2,26, s = 2,4, n = I0, отримаємо шуканий довірчий інтервал 0,3 < α <37, що покриває невідоме математичне сподівання а з надійністю 0,95.

Дата добавления: 2014-10-15