Тема. Розв’язання логарифмічних нерівностей

РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОКАЗНИКОВИХ І ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

Додаткові вправи

1. Розв'язати показникове рівняння:

4^х = 64 = 27 3^х = 81 = = 225 = 36 (0,25) 2^-х = =

1. = 2. = 3. = 4.3^х = 19^х

1.7^х+2 + 4*7^х+1 = 539 2. = 4 3.3^х + 3^х+1 = 108 4.4^х+1 +4^х = 320 5.2*3^х+1 – 3^х = 15 6.3*5^х+3 + 2*5^х+1 = 77 7.3^х+1 2*3^х-2 = 75

2. Розв'язати логарифмічне рівняння:

1. = 2 2. = -1 3. = - 4. = 2 5. = - 2 6. = 1 7. = 0 9. = 3

1. = x 2. = 3. = 0 4. = 5. = 0 6.

1. 2. 3. log(x+3) – log(x-1) = 2 - log8 4. =

План

1. Графік функції у = log_a x, .

2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей.

1. Графік функції у = log_a x, .

    зростає

    спадає

2. Рівносильні перетворення найпростіших логарифмічних нерівностей

    Знак нерівності не змінюється, і враховується ОДЗ

    Знак нерівності змінюється, і враховується ОДЗ

Приклади

. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція у = зростаюча, тоді х - 5 > 23, х > 13. Враховуючи ОДЗ, маємо х > 13. Відповідь: (13; + ).    

. ОДЗ: x – 5 > 0, тобто х > 5. Функція в = спадна, тоді х - 5 <, х < 5. Враховуючи ОДЗ, маємо 5 < х < 5. Відповідь: (5; 5).

3. Розв’язання більш складних логарифмічних нерівностей

Орієнтир

Приклад

І. За допомогою рівносильних перетворень дану нерівність приводять до нерівності відомого виду. Схема рівносильних перетворень нерівності: 1. Ураховуємо ОДЗ заданої нерівності (і уникаємо перетворень, що приходять до звуження ОДЗ). 2. Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням вірної нерівності

ОДЗ: x > 0. На цій ОДЗ дана нерівність рівносильна нерівностям: , . Заміна: . Тоді, тобто . Рішення цієї нерівності або     Обернена заміна дає або . Тоді або . Враховуючи, що функція у = lg x є зростаючої, одержуємо: або . За ОДЗ маємо: 0 < x 0,01 або . Відповідь: .

ІІ. Застосовується загальний метод інтервалів (дана нерівність приводиться до нерівності, ) і використовується схема: 1. Знайти ОДЗ; 2. Знайти нулі ; 3. Відзначити нулі функції на ОДЗ і знайти знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ; 4. Записати відповідь, враховуючи знак нерівності.

Розв'яжемо нерівність методом інтервалів. Воно рівносильне нерівності . Позначимо . 1. ОДЗ: тобто   2. Нулі функції: . . Тоді . На ОДЗ це рівняння рівносильне рівнянню 2х + 3 = х² (отриманому за означенням логарифма). Тобто х² - 2х - 3 = 0, х₁ = -1, х₂ = 3. В ОДЗ входить тільки х = 3. Отже, має єдиний нуль функції х = 3. 3. Відзначаємо нулі функції на ОДЗ, знаходимо знак на кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ, і записуємо рішення нерівності .

Відповідь: х (0; 1) (3; +)

Вправи

Розв'язати нерівність

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

Дата добавления: 2014-10-15