Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дотична площина та нормаль до поверхні




Озн.1 Дотичною площиною до поверхні в точці М називається площина, яка має у собі усі дотичні до кривих, проведених на поверхні через точку М

Якщо поверхня задана рівнянням, то рівняння дотичної площини в точці М(хоо) до поверхні має вигляд:

 

(1)

 

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння (1) має вигляд:

 

Озн.2 Нормаль до поверхні - це пряма, яка проходить через точку дотику і перпендикулярна дотичній площині.

Якщо поверхня задана рівнянням , то канонічне рівняння нормалі має вигляд:

Якщо поверхня задана рівнянням , то .

 

Приклад: Знайти рівняння дотичної до нормалі в точці М(1;1;1) .

Розв’язання:

Нормаль:

 

Невизначений інтеграл

§1 Первісна та невизначений інтеграл

Означення 1. Функція F(x) називається первісною для даної функції f(x) на проміжку (а; b), якщо для будь-яких () .

Теорема 1. Якщо F1(x) і F2(x) – дві первісні для функції f(x) на проміжку

(а; b), то різниця між ними дорівнює сталому числу.

Доведення. Нехай f(x) існує на проміжку (а; b), та F1(x) і F2(x) її первісні. Тобто, за означенням 1 маємо та .

За наслідком з теореми Ла-Гранжа маємо F1(x) - F2(x) =с, де с = const.

 

Тобто, .

1; М2)=с, с = const.

 

Наслідок. Якщо F(x) первісна для деякої функції f(x) то будь-яка інша первісна має вигляд F(x)+С.

 

Означення 2. Сукупність всіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтегралом від функції f(x) і позначається символом , де

f(x) – підінтегральна функція,

f(x)dx – підінтегральний вираз,

∫ - знак інтеграла.

Операція знаходження первісної для даної функції f(x) називається інтегруванням. Крива F(x) називається інтегральною кривою.

 

§2 Властивості невизначеного інтеграла

1.

2.

3.

4.

5., де

6.

Знаки d i ∫ слідуючи один за одним в будь-якій послідовності взаємознищуються.

Доведемо 5 властивість.

Нехай F(x) – первісна f(x). За означенням 2 маємо

Тоді аF(x) є первісною для функції аf(x).

Дійсно, за означенням 1 .

§3 Таблиця невизначених інтегралів

Нехай х – незалежна змінна, функція f(x) неперервна на даному інтервалі і F(x) – її первісна.

(1)

Нехай , де - неперервна і диференційована, а - неперервна і розглянемо

(2)

В даному випадку складена функція є первісною для підінтегральної функції (2). Тоді знайдемо

Це означає

, (3)

де .

Тобто, мають місце (1) і (3).

 

Зауваження

Деякі перетворення диференціалів

1), де

2),

3)

4)

5)

6)

 

§4 Методи інтегрування

1. Підведення під знак диференціалу

Нехай потрібно знайти інтеграл від функції . За означенням диференціалу функції вираз .

Приклад.

Обчислити інтеграл ,

 

2. Інтегрування за частинами

- інтегрування за частинами

Приклад

1.

2.

 

3. Інтеграл від функції, що містить повний квадрат

 

Розглянемо (2)

він зводиться до інтегралу (1) шляхом виділення в чисельнику похідної від знаменника

 

Приклад:

 

4. Інтегрування раціональних дробів.

Розглянемо правильний дріб

 

Нехай для визначенності (2), де квадратичний тричлен не має дійсних коренів.

 

 

Теорема. Правильний раціональний дріб , де - (2) можна єдиним способом розкласти на суму найпростіших дробів.

(3)

 

Метод невизначених коефіцієнтів.

 

Коефіцієнти Аі, Ві, Мі, Nі – в рівності (3) можна визначити слідуючим чином. Рівність (3) – це тотожність, тому звівши дроби (3) до спільного знаменника, отримаємо тотожні многочлени в чисельниках зліва та справа. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях – x, або даючи х значення отримаємо систему рівнянь для визначення отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів.

 

 

Це є метод невизначених коефіцієнтів.

 

Приклад:

Зауваження: Всі неправильні дроби перетворюються у правильні діленням многочлена на многочлен, тобто виділяючи цілу частину.

 

 

Приклад:

 

§ 5 Інтегрування деяких ірраціональних функцій

 

1) dx, a

2) dx

3) де не має рівних коренів. Якщо D< 0, а >0 - перша підстановка Ейлера.

 

 

D>0, друга підстановка Ейлера

 

 

§ 6 Інтегрування тригонометричних функцій

1. n – цілі, >0

 

а) n – парне:

 

б) n – непарне sin x або cos x підвести під знак диференціалу і використовують тригонометричні формули

 

Приклади: ,

 

2. ,

а) m,n – хоча б одне непарне, виділити один множник і замінюючи змінну на t, отримаємо табличні інтеграли.

 

б) m, n – парне > 0 – знижувати степінь за тригонометричними формулами

 

3.

 

Приклади:

 

4.

 

 

5. універсальна підстановка ;

 

 

 

Приклад:

 

 

§ 7 Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних

1) або

Приклад:

 

2)

 

3)

 

 

Зауваження 1.

Інтегрування за частинами

 

 

Зауваження 2. Існують інтеграли, які не мають рішення ні за одним з вказаних методів. Вони знаходяться лише за приблизними правилами.

 

Наприклад: і т. д.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 1514; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.048 сек.