Интегралы от простейших рациональных дробей

Интегрирование дробно-рациональных функций

Как известно, функция, где – заданные числа, называется многочленом степени.

Определение. Отношение двух многочленов

называется дробно-рациональной функцией или рациональной дробью.

Если, то рациональная дробь называется правильной, если то рациональная дробь называется неправильной.

Из общей совокупности правильных дробей выделяют четыре специальных типа дробей, называемых простейшими. Простейшие дроби имеют вид:

1) – I тип;

2) – II тип;

3) – III тип;

4) – IV тип,

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Все остальные правильные дроби называются сложными.

Найдем интегралы от простейших дробей:

1)

2)

3)

При интегрировании дробей III и IV типов в выражении, стоящем в знаменателе, выделяют полный квадрат:

Тогда, применяя метод замены переменной, получим:

Полученную формулу нет необходимости запоминать, проще все элементарные преобразования выполнять в заданном интеграле.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2.

Решение

1. здесь интегрировалась дробь I типа.

2. интегрировалась дробь II типа.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2.. 3.

Решение. Во всех трех случаях квадратные трехчлены, стоящие в знаменателях, не имеют действительных корней (проверьте), следовательно, надо найти интегралы от простейших дробей III типа.

1.

2.

3.

Интегрирование простейших дробей III типа можно провести и другим методом: при в числителе дроби выделить производную знаменателя, затем перейти к двум интегралам, один из которых находится по формуле: а другой – по табличной формуле (20). Рассмотрим этот метод на примере 3.

4..

При интегрировании простейших дробей четвертого типа при выделяют полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Выделенный двучлен заменяют новой переменной «» и применяют рекуррентную формулу

Формула применяется раз и приводит в итоге интеграл к табличному интегралу 20.

При интегрировании дроби четвертого вида сначала в числителе выделяют производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, затем переходят к двум интегралам, вычисление которых рассматривали выше.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.. 2.

Решение

1. При нахождении интеграла применяем рекуррентную формулу, здесь:

2. Находим производную от квадратного трехчлена: выделим в числителе производную от трехчлена:

тогда

Рассмотрим интегралы отдельно:

Подставляя значения интегралов, получим:

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 2)

3) 5)

4)

Дата добавления: 2014-10-15