Свойства определенного интеграла

Экономический смысл определенного интеграла

Пусть непрерывная функция задает производительность труда на некотором предприятии в момент времени

Найдем объем продукции, произведенной за весь промежуток времени.

Разобьем отрезок на части точками, величина равна длительности – го промежутка времени,

Обозначим объем продукции, произведенной за промежуток времени. Эта величина приближенно равна

,

где – некоторый момент времени из промежутка.

Вся произведенная продукция примерно равна сумме этих частей:

.

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше разбиение отрезка. Поэтому за точное значение продукции примем предел, к которому стремится сумма при неограниченном измельчении разбиения отрезка:

,

что, согласно определению определенного интеграла, равно:

.

Пример. Пусть производительность цеха в течение рабочего дня изменяется в соответствии с функцией (ден. ед./ч). Начало рабочего дня соответствует ч.

Тогда стоимость произведенной к моменту времени, ч, продукции (объем произведенной продукции в стоимостном выражении) задается функцией:

.

За всю смену рабочий произведет продукции на

Далее будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

,

где a – некоторое число.

Доказательство. Представим интеграл, стоящий в левой части, как предел интегральной суммы и воспользуемся свойствами пределов. Тогда

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т. е.

Доказательство. Свойства 2 аналогично свойству 1.

Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

Свойство 3. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то интеграл изменит знак:

Доказательство основывается на определении определенного интеграла.

Свойство 4. Для любых трех чисел справедливо равенство

если только все три интеграла существуют.

Доказательство. Пусть и функция неотрицательна на. Согласно геометрическому смыслу определенного интеграла и,, где - площадь под кривой на отрезке.

Тога при сделанных предположениях доказываемое равенство утверждает наличие следующего соотношения:.

Если и функция неотрицательна на, то получим – площадь под кривой на отрезке.

Аналогично доказывается это свойство при любом другом расположении точек, а также в случае отрицательности функции

Свойство 5. Если функция неотрицательна на отрезке, то.

Если функция неположительна на отрезке, то.

Доказательство. Рассмотрим случай на. Составим интегральную сумму для на:.

Здесь (функция неотрицательна по условию),. Следовательно,, а значит.

Доказательство в случае проводится аналогично.

Свойство 6.

Здесь отрезок интегрирования равен нулю, следовательно, и определенный интеграл тоже.

С геометрической точки зрения это означает, что если конец основания трапеции совместить с его началом, то трапеция превратится в прямоугольный отрезок – ординату f(a), площадь которого нужно считать равной нулю.

Свойство 7. Если для функций и на отрезке выполняется условие, то будет справедливым неравенство:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию на отрезке. Проинтегрируем и применим свойство 5, тогда. Далее воспользуемся свойством 2:. Отсюда следует:.

Свойство 8 (об оценке определенного интеграла). Значение определенного интеграла заключено между произведениями наименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину интервала интегрирования, т. е.

где и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке:.

Доказательство. Для доказательства нам понадобится вычислить интеграл:.

Возьмем две функции и.

на отрезке неотрицательна, т. е.:

,

т. е..

Аналогично получаем:.

Свойство 9 (теорема о среднем). Если интегрируема на (где), то на найдется такая точка:, что выполняется соотношение:

.

Из теоремы о среднем мы получили среднее значение непрерывной функции на отрезке:

.

Доказательство. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее и наибольшее значения. Тогда

.

Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между и. Таким образом, существует точка, такая что

.

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке, то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой

2.4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона–Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования и. Предположим, что нижний предел интегрирования постоянный, а верхний – переменный. Придавая верхнему пределу различные значения, будем получать соответствующие значения интеграла; следовательно, при рассматриваемом условии интеграл является функцией своего верхнего предела. Таким образом, записывают:

.

  Рис. 2.3

Однако переменная в подынтегральном выражении служит лишь вспомогательной переменной – переменной интегрирования, пробегающей в процессе составления интеграла значения от до. Поэтому нагляднее употреблять такую запись:

.

Геометрически функция представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции, если. При этом функция возрастающая, так как с ростом площадь криволинейной трапеции увеличивается (рис. 2.3).

Теорема 2.3. Производная определенного интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при переменном верхнем пределе, т. е.

.

Из сформулированной теоремы вытекает, что является первообразной для функции. Тогда из теоремы о первообразной следует, что, где – какая-то первообразная функции. Итак,

Положим, получим. Отсюда, тогда

При, получим.

Так как обозначение переменной не играет роли, то получаем формулу

,

которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Из формулы Ньютона–Лейбница следует, что для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции и затем подставить пределы интегрирования:

.

Символ называется двойной подстановкой.

Пример. Найти определенные интегралы:

1.. 2.. 3..

Решение

1.

.

2..

3.

.

2.5. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле

Теорема 2.4. (о замене переменной). Если функция удовлетворяет условиям:

1) имеет непрерывную производную на отрезке;

2),,

то для любой непрерывной на отрезке функции имеет место ра­венство:

.

Из теоремы следует, что, выполняя замену переменной в определенном интеграле, необходимо заменить и пределы интегрирования.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

1.. 2.

Решение

1.

.

2.

.

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке, тогда по правилу дифференцирования произведения получим:

.

Отсюда следует, что функция является первообразной для функции. А так как функция непрерывна на отрезке, то интеграл от нее существует, т. е. она интегрируема на этом отрезке, и по формуле Ньютона–Лейбница, имеем:

Итак, формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет вид:

.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

1.. 2..

Решение

1.

.

2.

.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить неопределенные интегралы:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

Дата добавления: 2014-10-15