Вычисление площади в полярных координатах, площадь криволинейного сектора

Рассмотрим фигуру, ограниченную сверху и снизу несколькими линиями, заданными уравнениями

  Рис. 4.6

Если фигура не является криволинейной трапецией (рис. 4.6), ее разбивают на части и находят площадь как сумму площадей отдельных частей. Итак, для того, чтобы найти ее площадь фигуру разбивают на части таким образом, чтобы верхняя граница состояла только из одной кривой и нижняя тоже только из одной кривой. Таким образом,

5. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью и линией, заданной уравнением если функция непрерывна на отрезке и меняет на нем знак, то

  Рис. 4.7

.

Например (рис. 4.7),

  Рис. 4.8

6. Если фигура ограничена линиями,,, (рис. 4.8), то

.

7. Линия на плоскости задана параметрически:

Пусть данные уравнения определяют функцию тогда в формуле сделаем замену,,.

Получим формулу для вычисления площади в случае параметрического задания линии:

.

Пример. Найти площадь эллипса с полуосями а и b, уравнение которого задано параметрически:.

Решение. Нам задан эллипс с центром в начале координат с полуосями а и b. Можно найти площадь части эллипса, лежащей в первой четверти, тогда,,. Найдем

Таким образом, (кв. ед.).

Определение. Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная непрерывной кривой, заданной уравнением в полярных координатах, и двумя лучами и.

  Рис. 4.9       Рис. 4.10

Площадь криволинейного сектора (рис. 4.9) выражается формулой

Пример. Найти площадь лемнискаты Бернулли.(рис. 4.10).

Решение. Перейдем к полярным координатам:

Найдем область определения функции:

Фигура симметрична относительно начала координат, Найдем площадь заданной фигуры, лежащей в первой четверти, т. е..

Итак, площадь данной фигуры равна (кв. ед.).

4.2. Вычисление объемов тел по известным площадям
поперечных сечений

Поставим задачу: найти объем тела, заключенного между плоскостями и (рис. 4.11), если известна площадь его сечения плоскостью, проводимой перпендикулярно оси при любом (такое сечение называют поперечным), т. е. эта площадь является известной функцией причем является непрерывной на.

Для решения задачи сделаем следующее:

1) возьмем произвольную точку и проведем плоскость;

2) дадим x_i приращение D x_i ¹ 0, проведем плоскость x = x_i + D x_i;

3) из данного тела этими плоскостями вырезан слой, объем которого приближенно равен объему цилиндра с площадью основания и высотой, т. е.;

4) объем тела приближенно равен сумме объемов:

;

5) точное значение объема тела найдем, переходя к пределу при, который существует, так как непрерывна, и равен интегралу от по отрезку:

.

Рис. 4.11

  Рис. 4.12

Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема:

где – площадь поперечного сечения.

Используя полученную формулу, вычислим объем тела вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = f (x) (f (x) непрерывна на),,,, вращается вокруг оси Ох (рис. 4.12), найдем объем полученного тела.

Поперечным сечением здесь является круг, его площадь равна:

.

  Рис. 4.13

Тогда объем тела вращения вычисляется по формуле

.

Если криволинейная трапеция, ограниченная линиями (непрерывна на),,,, вращается вокруг оси Оу (рис. 4.13), получаем другую формулу для вычисления объема тела вращения:

.

Пример. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:,,.

  Рис. 4.14

Решение. Построим данную фигуру
(рис. 4.14).

Вычислим искомый объём:

= (куб. ед.).

Если фигура ограничена снизу кривой, сверху – и прямыми,, то объем тела, образованного вращением такой фигуры вокруг оси, вычисляется по формуле

.

  Рис. 4.15

Пример. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:,.

Решение. Построим данную фигуру
(рис. 4.15).

Кривые и пересекаются при х = 4.

(куб. ед.).

Дата добавления: 2014-10-15