Математические модели радиоэлектронных систем и их составляющих

2.1 Уровни сложности радиоэлектронных средств (РЭС)

Радиоэлектронные средства (РЭС) весьма разнообразны по сложности и содержат от единиц элементов (простейшие устройства) до 10¹⁰ элементов (сложные вычислительные и другие комплексы). В настоящее время принята следующая иерархия уровней сложности РЭС:

1. Функциональные комплексы (ФК) – это сложные радиоизмерительные, радиоуправляющие, вычислительные или информационные системы. К ним относятся радиолокационные и радионавигационные системы, системы радиосвязи и радиовещания и др.

2. Функциональные устройства (ФУС), к которым относятся передатчики, приемники, микропроцессоры, запоминающие устройства и т.д.

3. Функциональные узлы (ФУ) – это тракты ВЧ, тракты НЧ, регистры, счетчики, дешифраторы и т.д.

4. Функциональные элементы (ФЭ) – это генераторы, усилители, детекторы, фильтры, логические элементы.

5. Компоненты – это транзисторы, диоды, резисторы, конденсаторы, и др.

Следует отметить, что такое деление весьма условное, которое меняется с развитием технологии производства РЭС.

Каждому иерархическому уровню сложности РЭС соответствует свой уровень моделирования, среди которых выделяют системное моделирование, структурное моделирование, функционально-логическое моделирование, схемотехническое моделирование и моделирование компонентов.

2.2 Математическая модель радиоэлектронной схемы

Под математической моделью реального объекта обычно понимают любое математическое описание, отражающее с требуемой точностью его поведение в заданных условиях.

Математической моделью радиоэлектронной схемы или ее компонента называют систему математических соотношений, описывающую протекающие в них электрические процессы.

Математической моделью схемы – система уравнений, описывающих ее статический или динамический режим, а математическими моделями компонента, в частности, могут быть уравнения его вольтамперных характеристик или дифференциальные уравнения переходных процессов в нем.

Математическую модель можно рассматривать как некоторый оператор , преобразующий систему внутренних и входных параметров объекта в совокупность функционально связанных между собой выходных параметров .

В качестве математических моделей могут выступать формулы, уравнения, алгоритмы, графики, таблицы, принципиальные и функциональные схемы и т.д.

В схемотехническом проектирования РЭС объектами проектирования являются принципиальные схемы проектируемых устройств и их компоненты. Успешность автоматизированного проектирования РЭС во многом определяется качеством используемых моделей схем и их компонентов. Поэтому к математическим моделям предъявляется целый комплекс требований. В идеале модели должны быть адекватными, универсальными, точными и экономичными.

Адекватность – это способность модели правильно отображать свойства объекта, в частности все его реакции на входные воздействия.

Универсальность характеризует полноту отображения в модели свойств объекта во всем диапазоне изменения входных воздействий.

Точность отражает степень совпадения значений параметров модели с параметрами реального объекта.

Экономичность математической модели характеризует затраты вычислительных средств на ее реализацию.

Очевидно, что требования полной адекватности, высокой точности и универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Поэтому обычно ищется компромиссное удовлетворение этих решений, которое зависит от уровня и характера решаемой задачи. Таким решением может быть создание нескольких моделей для одного и того же объекта, в котором развиваются одни его качества за счет других. Например, для выполнения большого количества предварительных или оценочных расчетов, выполняемых в большом интервале изменения входных параметров, более важными оказываются высокие универсальность и экономичность моделей, которые достигается, как правило, за счет снижения точности расчетов. В то же время, для детального изучения характеристик проектируемой схемы в рабочей области изменения входных параметров основную роль играет точность расчетов, получаемая в основном в ущерб экономичности модели. Эти обстоятельства обуславливают применение в САПР широкого спектра математических моделей объектов проектирования.

В схемотехническом проектирования РЭС модели классифицируются по нескольким признакам:

· по способу получения на теоретические и эмпирические;

· по способу представления свойств объекта на аналитические, алгоритмические, табличные и топологические;

· по детализации описания на полные ММ и макромодели;

· по степени универсальности на глобальные и локальные;

· по характеру описываемых зависимостей на линейные и нелинейные;

· по диапазону рабочих сигналов на ММ для малого сигнала (малосигнальные) и ММ для большого сигнала;

· по диапазону рабочих частот на низкочастотные и высокочастотные.

Теоретические модели создаются путем исследования физических процессов, которые протекают в компонентах. Результатом этих исследований могут быть математические выражения или уравнения, описывающие взаимосвязь внутренних, входных и выходных параметров модели, а иногда – схема замещения (эквивалентная схема). Последние модели обычно называют физическими. Примером физической модели является известная вам модель биполярного транзистора Эберса-Молла, которая основана на исследовании физических свойств p-n переходов.

Эмпирические модели создаются в результате изучения внешних проявлений свойств компонента, в частности с помощью обобщения результатов измерения выходных параметров при заданных входных параметрах. Примером таких моделей могут служить вольтамперные характеристики полупроводниковых и электронных приборов.

Аналитические модели представляют собой явные выражения выходных параметров как функции входных и внутренних параметров, т.е. Они имеют вид: . Такие математические модели отличаются высокой экономичностью, однако, получить их удается лишь в отдельных частных случаях и то для достаточно простых компонентов.

Табличные модели представляют собой наборы чисел, упорядоченные в виде таблиц или матриц, а топологические имеют вид графов;

Алгоритмические модели выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и входными в форме алгоритма. Типичной алгоритмической моделью является система уравнений, дополненная алгоритмом численного метода его решения.

Полные ММ – это модели, в описании которых используются все функциональные элементы и характерные связи между ними. Такие модели, как правило, достаточно точно учитывают тонкие процессы, происходящие в компоненте, однако не всегда являются экономичными.

Макромодели – это математические модели, в которых ради повышения ее экономичности учитываются значительно меньше межэлементных связей в компоненте, что соответствует описанию компонента с укрупненным выделением его элементов.

Глобальные ММ – это модели, адекватно описывающие свойства компонентов во всем диапазоне возможных изменений внутренних и входных параметров. Глобальные модели компонентов РЭА должны быть нелинейными, способными описывать работу компонента в режиме большого сигнала во всех возможных для использования диапазонах частот. Часто попытки придать модели глобальный вид приводит к заметному ее усложнению, что сопровождается потерей ее экономичности.

Локальные модели – это модели компонентов, предназначенные для использования в ограниченной области изменения входных параметров. Название локальные модели определяется типом параметра, область которого ограничивается. Примером таких моделей могут служить линейные, малосигнальные и низкочастотные модели. Так статические модели адекватно отражают свойства компонентов лишь только на постоянном токе, однако они имеют достаточно высокую точность и являются весьма экономичными.

2.3 Базовый набор моделей компонентов электронной схемы

Любая программа машинного проектирования электронных схем признает и допускает лишь базовый набор компонентов, для которого она была разработана. Если программа была разработана, например, только для анализа схем, содержащих только резисторы и источники напряжения, то базовый набор для этой программы состоит только из резисторов и источников напряжения. Следовательно, чем больший набор базовых моделей компонентов использовать программа, тем более функциональной она становится. Такая программа будет, конечно, более сложной и потребует заметно большего объема памяти ЭВМ. При этом остается открытым вопрос, как использовать разработанную уже программу для анализа схемы, которая содержит элементы, не вошедшие в базовый набор? Простейший подход состоит в том, чтобы заместить недостающий компонент некоторой эквивалентной схемой, построенной на основе только допускаемых для данной программы элементов базового набора. В идеале реакция эквивалентной схемы на внешнее воздействие должна быть неотличима от реакции самого компонента. Такое жесткое требование почти никогда не удается удовлетворить, особенно для таких часто применяемых приборов, как диоды, транзисторы и др. Однако в большинстве практических случаев считается возможным заменить каждый новый компонент приближенной эквивалентной схемой, называемой схемной моделью, и получить машинное решение, которое является приемлемым приближением к действительным результатам измерений. Другими словами, применимость программы в значительной мере является следствием использования адекватной модели схемы.

Для синтеза адекватных схемных моделей большинства радиоэлектронных устройств базовый набор должен содержать, по крайней мере, следующие пять классов сосредоточенных компонентов. В них входят:

а) сопротивления (линейные и нелинейные);

б) емкости (линейные и нелинейные);

в) в индуктивности (линейные и нелинейные);

г) независимые источники тока и напряжения;

д) управляемые источники тока и напряжения.

Все пять классов этих схемных моделей компонентов и их характеристики приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1 – Минимальный базовый набор моделей компонентов

	Тип компонента и его обозначение	Характеристика модели
1.	Сопротивление
	а) линейное	, R – сопротивление; , G – проводимость.
	б) нелинейное	Сопротивление, управляемое током , Проводимость, управляемая напряжением
2.	Емкость
	а) линейная	,
	б) нелинейная	Емкость, управляемая напряжением
3.	Индуктивность
	а) линейная	;
	б) нелинейная	Управляемая током индуктивность ,
4.	Независимые источники
	а) напряжения
	б) тока
5.	Линейные управляемые (зависимые) источники
	а) ИНУН
	б) ИНУТ
	в) ИТУН
	г) ИТУТ

Так как большинство схем с сосредоточенными параметрами и их сложных компонентов можно достаточно хорошо представить схемными моделями, составленными из перечисленных базовых компонентов, то это набор можно считать минимальным базовым набором. Здесь совсем не рассматриваются компоненты с распределенными параметрами, обычно используемые для моделирования схем СВЧ. Они будут изучаться позже в курсе САПР.

2.4 Физические модели полупроводникового диода

Наиболее распространенной нелинейной моделью диода следует считать модель, показанную на рис. 2.1, которая представляет собой модифицированную модель Эберса-Молла. На рис. 2.1 использованы следующие обозначения: – барьерная емкость, – диффузионная емкость, – сопротивление базы диода, – сопротивление утечки p-n -перехода. Среди многих формул, предлагаемых для описания вольтамперной характеристики диода, наиболее распространенная следующая

, (2.1)

где – ток перехода; – ток утечки; – тепловой ток диода при напряжения на переходе , который при температуре равен А; – температурный потенциал, при температуре равный В, здесь Дж/град – постоянная Больцмана, Кл – заряд электрона; m – эмпирический коэффициент; A и B – параметры, определяемые по обратной ветви вольтамперной характеристики в области пробоя; – напряжение пробоя.

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

В общем случае все сопротивления и емкости на схеме рис.3.1 являются нелинейными. Сопротивление базы диода зависит от тока, текущего через диод, и определяется по эмпирической формуле:

,

где и – коэффициенты аппроксимации.

Барьерную емкость в программах удобнее всего рассчитывать по формуле Гуммеля-Пуна:

, (2.2)

где – барьерная емкость при нулевом напряжении; – нормированное напряжение; – контактная разность потенциалов; N, a и b – параметры аппроксимации, определяемые на основании эксперимента.

Диффузионную емкость диода можно вычислить по формуле:

,

где t – эффективное время жизни неосновных носителей в базе диода.

Для грубых расчетов можно использовать менее точную, зато более простую и экономичную кусочно-линейную модель диода, эквивалентная схема которой изображена на рис.3.2. Уравнения модели и схема замещения диода получаются путем аппроксимации его нелинейной вольтамперной характеристики тремя отрезками прямых линий для разных режимов работы: 1-й – прямого смещения, 2-й – обратного смещения, 3-й – пробоя. Каждому из режимов соответствует своя ветвь схемы замещения (рис.2.2), на которой обозначено: – прямое сопротивление диода; – напряжение отсечки.

Кусочно-линейную модель диода целесообразно использовать при решении задач оптимизации с целью определения области оптимума. После выхода в область оптимума положение точки экстремума можно уточнить, вернувшись к нелинейной модели (2.1), при этом, естественно, общее время оптимизации будет заметно меньше, чем без использования кусочно-линейной модели, так как основные затраты времени в задачах оптимизации приходятся именно на выход в область оптимума.

2.5 Физические модели транзисторов

Наиболее популярной моделью биполярного транзистора является модифицированная модель Эберса-Молла, схема которой представлена на рис.2.3. Здесь и – нормальный и инверсный коэффициенты усиления транзистора в схеме с общей базой; , и – омические сопротивления областей эмиттера, коллектора и базы. Диоды и моделируют эмиттерный и коллекторный переходы транзистора и могут быть представлены соответствующими схемами замещения. К сожалению, данная модель транзистора не дает возможности представить ее описание в аналитическом виде, поэтому параметры ее могут быть получены только путем численного анализа на ЭВМ.

Модель Эберса-Молла не является единственной, которая применяется в автоматизированном схемотехническом проектировании. Существует еще достаточно большое число модификаций этой модели, уточняющей ее по ряду параметров. К ним следует отнести отечественные модели Норенкова и Голубева-Кремлева, а среди зарубежных – модель BIRD и модель Гуммеля-Пуна.

Рисунок 32.3

Эти модели позволяют более дифференцированно учитывать процессы дрейфа-диффузии и рекомбинации в базе планарного транзистора, более точно моделировать отдельные участки его структуры. Однако усложнения моделей приводит, естественно, к потере их экономичности. Оптимальными с точек зрения точности моделирования и экономичности занимают модели BIRD и Гуммеля-Пуна, причем последняя успешно используется в пакетах программ моделирования DesignLab и OrCad. Для полного расчета этой модели необходимо задать около 60 параметров.

Все перечисленные модели достаточно точно описывают нелинейные свойства транзистора. Наряду с ними разработаны упрощенные модели транзисторов, которые используют кусочно-линейную аппроксимацию его характеристик и также могут работать в режиме большого сигнала. Как и в случае полупроводникового диода, эти модели менее точны, но более экономичны. К ним обычно прибегают тогда, когда использование корректной нелинейной приводит к недопустимо большим затратам ресурсов ЭВМ.

Кроме рассмотренного биполярного транзистора существует еще много типов полупроводниковых приборов: полевые транзисторы, тиристоры, тринисторы и т.д. Одних только полевых транзисторов можно насчитать несколько разновидностей – это транзисторы с управляемым p-n переходом, арсенид-галлиевые, МДП, МОП, статически индуцированные и др. Для каждого из этих приборов разработаны свои нелинейные и малосигнальные схемы замещения, которые основаны на анализе происходящих в них физических процессах. Наиболее удачные варианты физических моделей транзисторов используются в автоматизированном проектировании. Здесь мы не будем подробно останавливаться на каждой из этих моделей, поскольку это не выходит за рамки нашего курса. Обычно в описаниях пакетов программ приводятся эквивалентные схемы всех п/п приборов, включенные в библиотеку моделей. Такие пакеты программ как DesignLab и OrCad имеют встроенные редакторы моделей компонентов, позволяющие редактировать имеющиеся модели и создавать новые, для чего можно использовать паспортные данные п/п приборов или данные их измерений.

2.6 Линеаризованные модели полупроводниковых устройств

Кроме нелинейных и кусочно-линейных моделей существуют так называемые линеаризованные модели полупроводниковых устройств. Их часто называют линейными моделями. Это локальные модели, предназначенные для описания свойств прибора, работающего с малыми сигналами в установившемся режиме, поэтому их еще называют малосигнальными. Рабочую точку транзистора выбирают при этом на почти линейном участке его характеристики (рис.2.4) и поскольку при уменьшении амплитуды сигнала рабочий участок характеристики практически стягивается в точку, то этот участок с очень высокой степенью точности можно аппроксимировать отрезком прямой линии. Следовательно, схема замещения такого прибора будет также линейной. В отличие от нелинейных моделей транзисторов, которые строились только с помощью физических эквивалентных схем, для построения малосигнальных моделей можно использовать как физические, так и формализованные схемы замещения.

Линеаризованные (малосигнальные) эквивалентные схемы строятся путем упрощения соответствующих нелинейных прототипов. Типичная линейная схема замещения биполярного транзистора приведена на рис.3.5.

Эта модель обычно называется гибридной П-моделью. Здесь , и – сопротивления материала базы, коллектора и эмиттера соответственно; и – сопротивление и емкость перехода эмиттер-база, а и – то же для перехода коллектор-база; – ток источника тока, управляемого напряжением , а – его внутреннее сопротивление.

Рисунок 2.5

2.7 Макромодель операционного усилителя

В современной схемотехнике одним из самых распространенных устройств является операционный усилитель (ОП). Для него характерны наличие двух дифференциальных входов, большой коэффициент усиления (30...100 дБ), частотная зависимость коэффициента усиления, смещение выходного напряжения относительно нуля при нулевых напряжениях на дифференциальных входах ОП, конечные значения входных и выходного сопротивлений, входные токи смещения.

В локальной модели идеального операционного усилителя не учитываются частотные зависимости коэффициента передачи, смещение выходного напряжения, входные токи смещения. Электрическая макромодель из базовых элементов, отражающая указанные свойства ОП, показана на рис. 2.6,а. Здесь резисторы R 1отражает конечное входное сопротивление между двумя дифференциальными входами и ОП, резистор R 2 – его выходное сопротивление,управляемый источник напряжения – усилительные свойства ОП (K – крутизна по входному сигналу).

а) б) в)

Рисунок 2.6

Реальная амплитудная передаточная характеристика операционного усилителя показана на рис. 2.6,б,а частотная характеристика – на рис. 2.6,в. Один из возможных вариантов глобальной макромодели ОП для линейного режима работы приведен на рис. 2.7.

Рисунок 2.7

Здесь смещение выходного сигнала относительно нуля учитывается с помощью постоянного источника напряжения на одном из входов модели. Входные токи смещения, необходимые для базового смещения транзисторов во входном дифференциальном каскаде ОП, отражены источниками постоянного тока и на входных зажимах модели. Частотную зависимость коэффициента передачи операционного усилителя целесообразно учитывать с помощью промежуточного управляемого источника с комплексным сопротивлением нагрузки (, ), напряжение на котором имеет такую же частотную зависимость, как и коэффициент передачи усилителя. Усложнением этого сопротивления можно обеспечить практически любую частотную характеристику коэффициента передачи ОП. Если это сопротивление нагрузки будет нелинейным, то можно будет учесть и нелинейность амплитудной передаточной характеристики операционного усилителя. Источник напряжения , управляемый напряжением , характеризует усилительные свойства ОП, а резистор и конденсатор – его нагрузочную способность.

На основе электрической модели рис.2.7можно разрабатывать модели множества других устройств радиоэлектроники, реализуемых на основе операционных усилителей: умножителей, делителей, сумматоров напряжения, логарифмических и антилогарифмических устройств, интеграторов, дифференциаторов, компараторов и ряда других устройств. Для построения моделей этих устройств макромодель операционного усилителя должна быть дополнена электрическими моделями элементов, которые подключаются к входным и выходным его зажимам усилителя для реализации им требуемой функции.

Дата добавления: 2014-10-15