Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость




Лекция 9

Бесконечное произведение есть выражение вида

(1+а1)(1+а2)(1+а3).... (1)

содержащее бесконечно много сомножителей. Мы обозначаем его через

Мы предполагаем, что ни одно из чисел а„ не равно —1. Рассмотрим частичное произведение

Мы говорим, что бесконечное произведение (1) сходится, если рn стремится к некоторому пределу, отличному от нуля, когда п →∞

Мы могли бы, конечно, допустить предел 0, как всякий другой; но мы увидим ниже, что во многих случаях это было бы неудобно.

Если произведение не сходится, то говорят, что оно расхо­дится. Если , то говорят, что оно расходится к нулю.

Мы начнем с рассмотрения двух простых случаев.

Если an,≥0 то произведение П(1+an) и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Так как в этом случае рn есть неубывающая функция от п, то рn стремится либо к конечному пределу, либо к положительной бесконечности. Далее,

Левое неравенство становится очевидным, если раскрыть скобки; правое неравенство следует из того, что при любом положительном а. Вместе эти неравенства показывают, что рn и a1 +…+an ограничены или не ограничены одновременно, и это завершает доказательство.

Если an,≤0 для всех значений п, то мы полагаем an = -bn и рассматриваем произведение

Если для всех значений п и ряд сходится, то произведение П(1 — b п) сходится.

Из сходимости ряда следует существование столь большого N, что bN + bN+1+…<1/2 и, в частности, bn < 1 при n≥N. Оче­видно,

(1 - bN) (1 - bN+1)≥1- bN - bN+1,

Таким образом, отношение рп/pN+1 монотонно убывает при п> N и имеет положительную нижнюю грань. Следовательно, оно стре­мится к положительному пределу. Поскольку , это завер­шает доказательство.

Если 0≤bn для всех п, но ряд расходится, то про­изведение П(1 — bn) расходится к нулю.

В самом деле, , если 0≤b<1, так что

Правая часть стремится к нулю, что и завершает доказательство.

Таким образом, если если 0≤bn<1, то произведение П(1 — bn) и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Общий случай. Пусть теперь an — любые вещест­венные или комплексные числа, отличные от —1.

Определение. Произведение П(1+an) называется абсолютно сходящимся, если произведение П(1 — |an |) сходится.

Из первого предложения следует, что необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости произведения П(1+an) служит сходимость ряда

Покажем теперь, что абсолютно сходящееся произведение схо­дится.

Обозначим через рп то же частичное произведение, что и выше,

и положим Так как

то п — p n-1|≤|Рп — Рп-1|- Если произведение П(1 +|an|) схо­дится, то Р„ стремится к некоторому пределу, так что ряд сходится. Тогда, в силу теоремы сравнения, схо­дится и ряд стремится к некоторому пре­делу.

Этот предел не может быть нулем. Действительно, так как ряд сходится и 1+ап→1, то ряд

также сходится. Следовательно (в силу только что доказанного), произведение

стремится к некоторому пределу.

Но это произведение равно 1/рп- Следовательно, предел произ­ведения рп отличен от нуля.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 312; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.009 сек.