Результатів вимірювань

Перевірка гіпотези про вид функції щільності ймовірності

Відомо декілька так званих критеріїв згоди, за допомогою яких перевіряються гіпотези про відповідність експериментальних даних теоретичної функції щільності розподілу ймовірностей. Найбільш розповсюдженим з них критерій , а також складений та W критерії.

Критерій використовується для перевірки узгодженості теоретичного та експериментального розподілів різних видів при числі результатів вимірювань у серії (спостережень) n≥50. Сутність його: оцінка відхилення гістограми експериментальних даних від гістограми з тим самим числом інтервалів, побудованої на основі теоретичного розподілу. Формульні відношення для критерію наведені в підрозділу 3.5.1. Цій критерий розглядался в курсі «Теорія ймовірності та математична статистика».

3.5.1. Критерій c² (хі-квадрат)

Критерій використовується для перевірки узгодженості теоретичного та експериментального розподілів різних видів при числі результатів вимірювань у серії (спостережень) n≥50. Сутність його: оцінка відхилення гістограми експериментальних даних від гістограми з тим самим числом інтервалів, побудованої на основі теоретичного розподілу. Для кожного інтервалу гістограми визначають значення теоретичної і дослідної частостей (кількості спостережень, що потрапляють у даний інтервал) і знаходять показник різниці частостей. Величина має 3 форми запису (і обчислення) за експериментальними даними

(3.23)

де - теоретична ймовірність попадання результатів спостережень у l -й інтервал гістограми; - дослідна (статистична) оцінка ймовірності (частість) попадання результатів спостережень у l -й інтервал,

- експериментальне (дослідне) число результатів спостережень, що попадають у l -й інтервал гістограми; - теоретичне (очікуване) число результатів у l -му інтервалі; r - число інтервалів гістограми з постійною шириною h.

Значення залежить від довірчої імовірності P (або рівня значущості ) і числа степенів вільності , де s - число незалежних зв’язків, накладених на частості . Якщо перевіряється гіпотеза про нормальний розподіл, то до останніх належать: по-перше, рівності середнього арифметичного математичному сподіванню, а також точкової оцінки дисперсії і дисперсії передбачуваного нормального розподілу; по-друге, рівність одиниці суми частостей усіх інтервалів, тобто ^; ∙

Теоретична величина для нормально розподілених результатів вимірювань визначається за формулою

.

Щільність ймовірності цієї величини:

де Г(∙) – відома гама-функція. Інтегральна функція ‑ табульована (додаток 8). Вхідними даними таблиць, які складені, є рівень значущості (або довірча ймовірність ) і число степенів вільності . Для рівня значущості знаходять нижню і для рівня значущості - верхню границі критичної області значень (рис.3.6).

Рис.3.6. Функція з довірчим інтервалом

Гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень приймається, якщо виконується нерівність

. (3.24)

Методика застосування критерію :

1. Для серії n результатів спостережень обчислюють середнє арифметичне і незміщену оцінку СКВ за формулами (3.19) і (3.22) відповідно.

2. Визначають дослідні значення частостей . Для цього результати спостережень Х_q розміщують у варіаційний ряд (у порядку зростання) Х_min= =Х_max і здійснюють групування даних, тобто він розбивається на r рівних інтервалів. Вибір числа r інтервалів проводиться залежно від числа спостережень, що входять у серію. В табл. 3.1. наведена одна з рекомендації щодо такого вибору.

Таблиця 3.1. – Рекомендації щодо вибору числа інтервалів

Число результатів спостережень, n	Рекомендоване число інтервалів, r
40 - 100 100 - 500 500 - 1000 1000 - 10000	15 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 55

Ширину інтервалу h визначають за формулою

.

Для кожного інтервалу гістограми підраховують число результатів спостережень, що потрапили в нього. Якщо число хоча б для одного з інтервалів менше від 5, то роблять нову розбивку на інтервали, зменшуючи їх число r.

3. Розраховують теоретичні ймовірності або теоретичне (сподіване) число результатів спостережень для кожного з інтервалів.

Імовірності попадання результатів спостережень X_q у l -й інтервал знаходять або за загальною формулою (3.13), або приблизно як добуток щільності теоретичного розподілу в середині l - го інтервалу на його ширину:

,

де .

Для визначення числа переходять від середин інтервалів до нормованих значень :

.

Для кожного значення за таблицею диференціальної функції нормованого нормального розподілу (додаток 7) знаходять значення і обчислюють

.

4. За одержаними значеннями і (або ) обчислюють значення показника із співвідношення (3.23). За таблицею (додаток 9) знаходять граничні значення та . Згідно з умовою (3.24) перевіряють

справедливість гіпотези за критерієм .

Дата добавления: 2014-10-15