Тема. Похідні елементарних функцій . Правила диференціювання функцій

Вправи

1. Розкрити зміст нерівності <.
2. Як зобразити - околицю точки а = - 2, якщо = 0,5.
3. Розв'язати рівняння та нерівності:

1) = 4;

2) = 0;

3) = -6;

4) = х;

5) = - х;

6) > 0;

7) < 0;

8) 2;

9) > 7;

10) -5.

1. Чи є неперервною в кожній із точок х = -1, х = 1, х = 3 функція, графік якої зображено на рис 1

Рис. 1

1. Чи є функція безперервною в кожній точці даного проміжку?

1) f (x) = x⁵ – 3x² + 2, (-; +);

2) f (x) =, [5; +);

3) f (x) =, (0; +).

4) f (x) = x² – 3x, (-; +);

5) f (x) =, (0; +);

6) f (x) =, [2; +).

1. З'ясувати, до якого числа прагне функція f (x), якщо

1) f (x) = при х 0;

2) f (x) = x² – 5x + 1 при х 1;

3) f (x) = при х 2;

4) f (x) = при х -1;

5) f (x) = при х 3.

1. Знайти: 1) (x³ + 2x - 1); 2) ; 3) .
2. Дослідити функцію f (x) = у точці х₀ = 1.
3. Дослідити функцію f (x) =, х R, x 3 на безперервність у точці х = 3.
4. Дослідити функцію на безперервність у точках х = 0, х = -1, х = 1, якщо f (x) =
5. Знайти:

1) (x² + x +5);

2) (4x –x³);

3) (x² + 3x -5);

4) ;

5) ;

6) ;

7) (x⁴ - 2x + 5);

8) .

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) .

Тема. Приріст аргументу і приріст функцій. Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної, механічний та геометричний зміст

План

1. Приріст аргументу і приріст функцій.
2. Задачі, які приводять до поняття похідної.
3. Означення похідної.
4. Геометричний зміст похідної.
5. Механічний зміст похідної.

1. Приріст аргументу і приріст функції

 

Якщо змінна величина х змінила своє значення від х₀ до х₁, то різниця між її новим значенням і початковим називається приростом аргументу і позначається символом ∆ х (читається: «дельта ікс»). Таким чином, ∆ х = х₁ - х₀, звідки випливає, що х₁ = х₀ + ∆ х. Кажуть також, що початкове значення аргументу х₀ одержало приріст ∆ х. Внаслідок цього значення функції зміниться на величину f(х₁) - f(х₀). Ця різниця називається приростом функції в точці х₀, відповідним до приросту ∆ х, і позначається символом ∆у (читається: «дельта ігрек») або ∆f (читається: «дельта эф»). ∆у = ∆f(x) = f(х₁) - f(х₀) ∆у = f(х₀ + ∆ х) - f(х₀).  

2. Задачі, які приводять до поняття похідної

1. Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої

х(t) – координата х точки в момент часу t

1. Дотична до графіка функції

Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної MN.

 

Коли точка N наближається до точки М (рухаючись по графіку функції у = f(х)), то величина кута NМТ наближається до величини кута нахилу дотичної МА до осі Ох. Оскільки tg NМТ = , то tg =

1. Означення похідної

у = f(х)

Похідною функції у = f(х) у точці х0 називається Границя відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.   Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

1. Геометричний зміст похідної

 

Значення похідної в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀ і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної. (Кут відлічується від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки) k - кутовий коефіцієнт дотичної - рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою х₀

1. Механічний зміст похідної

Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу
S = S (t) – залежність пройденого шляху від часу   V = S ′(t) – швидкість прямолінійного руху   a = v′(t) – прискорення прямолінійного руху	Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість v нерівномірного прямолінійного руху є похідна функції, яка виражає залежність пройденого шляху s від часу t.

1. Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції

Якщо функція f(х) диференційована в точці х₀, то вона неперервна в цій точці.  

Якщо функція f(х) диференційована на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку

План

1. Похідні елементарних функцій.
2. Правила диференціювання функцій.

1. Похідні елементарних функцій
	, х 0		, a > 0, a - стала
			,
			,, a - стала
			на ОДЗ правої частини формули
2. Правила диференціювання функцій
Правило	Приклад
Сталий множник можна виносити за знак похідної
Похідна суми диференційованих функцій дорівнює сумі їх похідних

Дата добавления: 2014-10-15