Тема. Дотична до графіка функції. Рівняння дотичної до графіка функції

Sin x + 6х5 tg x +.

Тема. Похідна тригонометричних функцій

План

1. Похідна тригонометричних функцій.

1. Функція синус має похідну в будь-якій точці

(sin x)′ = cos x

1. Функція косинус має похідну в будь-якій точці

(cos x)′ = - sin x

1. Функція тангенс має похідну в будь-якій точці

(tg x)′ =

1. Функція котангенс має похідну в будь-якій точці

(ctg x)′ = -

1. Формула диференціювання складної функції

(sin (аx + b))′ = a cos (аx + b)

(sin u)′ = cos u ∙ u'

(cos u)′ = - sin u ∙ u'

(tg u)′ = ∙ u′

(ctg u)′ = -∙ u′

Приклад 1. Знайти похідну функції у = sin x + cos x + tg x + 5.

Розв’язання: у' = (sin x)′ + (cos x)′ + (tg x)′ + (5)′ = cos x - sin x + .

Приклад 2. Знайти похідну функції у = х³ sin x.

Розв’язання: у' = (х³)′ sin x + (sin x)′ х³ = 3х² sin x + х³ cos x.

Приклад 3. Знайти похідну функції у = 10 ctg x + 5 cos x + х⁶ tg x.

Розв’язання: у' = 10 (ctg x)′+ 5 (cos x)′+ (х⁶)′tg x + (tg x)′х⁶ =

= - 10 - 5 sin x + 6х⁵ tg x + х⁶ =

Приклад 4. Знайти похідну функції у = .

Розв’язання: у' = - (cos x)′= = .

План

1. Дотична до графіка функції.
2. Рівняння дотичної до графіка функції.

1. Дотична до графіка функції

Наочне уявлення про дотичну до кривої можна отримати, виготовивши криву з цупкого матеріалу (наприклад, з дроту) і прикладаючи до кривої лінійку у вибраній точці (рис.1). Якщо ми зобразимо криву на папері, а потім будемо вирізати фігуру, обмежену цією кривою, то ножиці теж будуть напрямлені по дотичній до кривої. Спробуємо перекласти наочне уявлення про дотичну на більш точну мову. Нехай задана деяка крива і точка М на ній (рис.2) Візьмемо на цій прямій іншу точку N і проведемо пряму через точки М і N. Цю пряму звичайно називають січною. Почнемо наближати точку N до точки М. Положення січної МN буде змінюватися, але при наближенні точки N до точки М воно почне стабілізуватися. Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної МN.

Рис. 1 Рис.2

Щоб записати це означення за допомогою формул, будемо вважати, що крива – це графік у = f(x), а точка М, яка знаходиться на графіку, задана своїми координатами (х₀; у₀) = (х₀; f(x₀)). Дотичною є деяка пряма, яка проходить через точку М. Щоб побудувати цю пряму, достатньо знати кут нахилу дотичної до осі Ох. Нехай точка N (через яку проходить січна МN) має абсцису х₀ + ∆ х. Коли точка N, рухаючись по графіку функції у = f(x), наближається до точки М (це буде при ), то величина кута NМТ наближається до величини кута нахилу дотичної МА до осі Ох. Оскільки , то при значення наближається до , тобто  

2. Рівняння дотичної до графіка функції

   

Тангенс кута нахилу дотичної в точці М з абсцисою х₀ обчислюється за формулою . З іншого боку, . Тоді . Нагадаємо, що в рівнянні прямої у = kх + b кутовий коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі Ох (кут відлічується від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки). Отже, якщо k – кутовий коефіцієнт дотичної, то . Тобто значення похідної в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀ і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної. Таким чином, якщо у = kх + b – рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці М з абсцисою х₀ і ординатою f(x₀)), то . Тоді рівняння дотичної можна записати так: у = · х + b. Щоб знайти значення b, врахуємо, що ця дотична проходить через точку М (х₀; f(x₀)). Отже, координати точки М задовольняють останньому рівнянню, тобто f(x₀) = · х₀ + b. Звідси b = f(x₀) -· х₀, і рівняннядотичної матиме вигляд . Його зручно записати так: Це рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀.  

Дата добавления: 2014-10-15