Тема. Найбільше і найменше значення функції

1. Найбільше і найменше значення функції, неперервної на відрізку

Властивість

Якщо функція неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Приклади

2. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку

Схема

Приклад Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х² – 12х + 12 на відрізку

1. Впевнитися, що заданий відрізок входить до області визначення функції f(х).

Область визначення заданої функції – всі дійсні числа (D(f) = R), отже, заданий відрізок входить до області визначення функції f(х).

2. Знайти похідну

= 3х² - 12

3. Знайти критичні точки: = 0 або не існує.

існує на всій області визначення функції f(х) (отже, функція f(х) неперервна на заданому відрізку).

= 0; 3х² – 12 = 0 при х = 2 або х = - 2.

4. Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку.

Заданому відрізку

належить лише критична точка х = 2.

5. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка.

f(1) = 1; f(2) = -4; f(3) = 3.

6. Порівняти одержані значення функції і вибрати з них найменше і найбільше.

3. Знаходження найбільшого чи найменшого значення функції, неперервної на інтервалі

Властивість

Ілюстрація

Якщо неперервна функція f(х) має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму х₀ і це точка мінімуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найменшого значення в точці х₀.

Якщо неперервна функція f(х) має на заданому інтервалі тільки одну точку екстремуму х₀ і це точка максимуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найбільшого значення в точці х₀.

4. Задачі на знаходження найбільшого чи найменшого значення функції

Схема

Приклад Є дріт довжиною 100 м. Потрібно огородити ним прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

1. Одну з величин, яку потрібно знайти (або величину, за допомогою якої можна дати відповідь на питання задачі), позначити через х (і за змістом задачі на класти обмеження на х).

Нехай ділянка має форму прямокутника АВСD (див. рисунок) із стороною АВ = х (м). Враховуючи, що дріт буде натягнуто по периметру прямокутника, одержуємо: 2АВ + 2ВС = 100. Тобто 2х + 2ВС = 100, звідси ВС = 50 – х (м). Оскільки довжина кожної сторони прямокутника – додатне число, то

2. Ту величину, про яку говориться, що вона найбільша або найменша, виразити як функцію від х.

Площа прямокутника:

3. Дослідити одержану функцію на найбільше чи найменше значення (найчастіше за допомогою похідної).

Дослідимо функцію

за допомогою похідної. Похідна

існує при всіх дійсних значеннях х (отже,

- неперервна функція на заданому проміжку).

- критична точка У точці х = 25

змінює знак з плюса на мінус (див. рисунок), отже, х = 25 – точка максимуму. Враховуючи, що неперервна функція

має на заданому інтервалі (0; 50) тільки одну точку екстремуму х = 25 і це точка максимуму, то на заданому інтервалі функція набуває свого найбільшого значення в точці х = 25.

4. Впевнитися, що одержаний результат має зміст для початкової задачі.

Отже, площа огородженої ділянки буде найбільшою, якщо сторони прямокутника будуть: АВ = х = 25 (м), ВС = 50 – х = 25 (м), тобто коли ділянка буде мати форму квадрата із стороною 25 м.