Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов




Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла:

Вычисляется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов (a,b) = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Определение. Векторное произведение двух векторов – это вектор, перпендикулярный векторам a и b, образующий с ними правую тройку и имеющий длину

Вычисляется как определитель .

Геометрически длина векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

О пределение. Смешанное произведение трех векторов это число, равное скалярному произведению третьего вектора на векторное произведение первых двух (a, b, c) = (a×b, c).

Вычисляется как определитель

 

Геометрически модуль смешанного произведения векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если смешанное произведение равно нулю, то вектора лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.

1.25. В табице 1.14 заданы векторы , Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) угол между векторами и .

Таблица 1.14

       
(4, –2, –4) (1, 4, –2) (1, 1, 1) (0, 1, 1)
(5, –1, 3) (3, 1, 1) (1, –1, 0,) (–1, 1, 0)

1.26. Найти и построить вектор = , если:

1) = 2, = 3; 2) = , = ;

3) = = .

Определить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

1.27. Найти × , синус угла между векторами и , если:

1) = (1, –5, – 3), = (–2, 4, 3);

2) = (3, –2, 6), = (6, 3, –2);

3)= (3, 0, –4), = (1, –2, 2).

1.28. Найти площадь треугольника с вершинами:

1) А (2; 2; 2), В (1; 3; 3), С (3; 4; 2);

2) А (–3; –2; –4), В (–1; –4; –7), С (1; –2; 2).

1.29. Найти смешанное произведение , и , если:

1) = (1, 1, 2), = (1, –2, 3), = (2, 1, 1);

2) = (5, –2, –1), = (1, –2, 1), = (1, 2, –2).

1.30. Установить, компланарны ли векторы:

1) = (1, 1, 3), = (0, 2, –1), = (1, –1, 4);

2) = (1, 2, 2), = (2, 5, 7), = (1, 1, –1).

1.31. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах
= (3, 2, 1), = (1, 0,–1), = (1, –2, 1).

1.32. Треугольная пирамида задана координатами своих вершин
1) А (–1; 1; 0), В (2;–2; 1), С (3; 1; –1), Д (1; 0; –2).

2) А (–4; –4; –3), В (–2;–1; 1), С (2; –2; –1), D (1; 3; –2).

Найти: угол <ДАВ; S – площадь грани АВС, V – объём пирамиды, высоту пирамиды.

Решение.

1) Найдём векторы и :

= (1 + 1; 0 – 1; – 2– 0) = (2; –1; –2), = (2 + 1; –2–1; 1 –0) = (3; –3; 1),

,

.

2) Найдем вектор = (4; 0; –1), тогда векторное произведение

Его длина равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Вычислим: .

Тогда площадь ∆АВС равна половине площади параллелограмма:

3) Найдём смешанное произведение:

= 0 + 4+ 6 – (0+24+3)= –17.

, ,

Значит,

4) Т.к. , то можно найти высоту пирамиды

 

1.2.3. Линейные операторы.
Собственные векторы и собственные значения

Любую квадратную матрицу можно рассматривать как линейный оператор, действующий на векторах. Матрица линейного оператора строится следующим образом: фиксируем базис линейного пространства (е1, е2) и действуем на базисные вектора данным преобразованием φ. Например, рассмотрим поворот на 60 (см.рис. 1.2); при этом базисные вектора переходят в вектора е1', e2'. Раскладываем эти образы по прежнему базису, коэффициенты разложения образуют столбцы матрицы линейного оператора преобразования.

e1= i =

e2 = j =

A = .

Рис. 1.2. Линейное преобразование поворота на 60˚

Определение. Вектор х называется собственным для матрицы А, если Ах = λх или (А – λЕ) х =0. Собственные числа λ являются корнями характеристического уравнения det (A – λE) = 0.

1.33. Линейный оператор в базисе задан матрицей А. Найти образгде:

1)= 4–3, А =; 2) = 2+ 4,

А =

1.34. Проверить непосредственным вычислением, какие из данных ниже векторов являются собственными векторами матрицы А, и указать соответствующие собственные значения:

 

,

 

1.35. Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных матрицами:

1) А = 2) А =

3) А = 4) А =

Задача о нахождении соотношения сбалансированности торговли

Постановка задачи. Пусть имеется несколько стран с известными национальными доходами Х = (х1, х2, …, хn). Структурная матрица торговли А показывает долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров других стран и внутри своей страны. Требуется найти соотношение национальных доходов для сбалансированности торговли.

Математически эта задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению 1.

Пример 1.8. Задана структурная матрица торговли . Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение:

= .

 

= = (0,5 – )٠(0,6 – ) –2 = 0,3 – 0,5 – 0,6 + 2 – 0,2 = 2 – 1,1 + 0,1 = 0.

 

Находим корни уравнения – собственные значения матрицы. Действительно, = 1, = 0,1. Тогда, собственный вектор для = 1:
(А – 1Е) ٠ Х ==.

 

Имеем систему . Собственный вектор Х = (0,8; 1).

Соотношение доходов получается 0,8: 1 или 4: 5.

1.36. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

 

А = .

 

Найти бюджет первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.

1.37. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:

 

A=.

Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле, если сумма бюджетов = 6270 усл. ед.

Контрольные задания

Вариант 1.

1. Найти разложение вектора a=(7;4;3) по базису e1=(1;2;0),
e2 =(3; –1; 2), e3 = (0; 4;–1).

2. Известно, что неколлинеарные векторы x(а;1) и у(в;1) являются собственными векторами матрицы . Найти координаты а и в.

3. Определить длины векторов, на которых построен параллелограмм с диагоналями с = 2i – j + 3k и d = 2i –2j + 4k.

4. Найти площадь треугольника с вершинами: А (2; 1; 4), В (1; 0; 3), С (3; 1; 2).

 

Вариант 2.

 

1. Найти значение параметра а, при котором вектор (1,а) является собственным для матрицы .

2. Найти длину вектора с = 2a – 3b,если |a| = 3, |b| = 2, угол между ними 60.

3. Образуют ли векторы базис e1 = (–2, 2, 4), e2 = (0, 1, 0), e3 = (2, –3, -4)?

4. При каком значении m вектора a = m i –3 j + 2 k и b = i + 2 j – m k перпендикулярны?

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 1780; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.058 сек.