Непрерывность функции в точке

Пример 2.2.

Замечательные пределы

Некоторые свойства пределов

Предел и непрерывность функции

Определение. Число А называется пределом функции f (x) в точке х ₀ (), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число δ = δ(ε) > 0, что для всех х ≠ х ₀, удовлетворяющих условию | x – x ₀|< δ, выполняется неравенство | f (x) – A| < ε.

Определение. Число А называется пределом функции f (x) при х → ∞ (), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число М = М (ε) > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию | x| > М, выполняется неравенство | f (x) – A| < ε.

Пусть Тогда:

1.

2.

3.

Пример 2.1.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2.8. Найти пределы:

5) ; 6);

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) ;

18) ; 19) ; 20) ;

21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ;

27) ; 28) ; 29) ; 30) .

Замечательный предел № 1:

Следствие 1.

Следствие 2.

Следствие 3.При sin k x ~ k x.

Замечательный предел № 2:

или

1) (1-ый способ).

, т. к. при sin 2 x ~ 2 x (2-ой способ).

т. к. при sin x/2 ~ x/2.

т. к. при sin x ~ x.

2.9. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) ;

13) ; 14) ; 15) ;

16) ; 17) 18) ;

19) ; 20) 21) ;

22) ; 23) ; 24) ;

25) 26)

Определение. Функцияназывается непрерывной в точке если выполняются условия:

1. определена в точке х = а.

2.

3. Значение функции в точке х = а равно пределу в этой точке, т.е.

Точки разрыва функции могут быть Ι рода (выполнено только условие 2 – «устранимый разрыв» или выполнено условие 1, причем в точке односторонние пределы конечны, но различны – «скачок») или ΙΙ рода (предел функции в точке не существует либо хотя бы один из односторонних пределов бесконечен).

Дата добавления: 2014-10-15