Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Пример 2.14




Исследование функции на экстремум

Частные производные 2-го порядка.

Пример 2.13.

Градиент функции

Частные производные, дифференциал,

 

Определение. Частные производные функции z = z (x, y):

 

 

если пределы существуют.

Определение. Дифференциалом функции z = z (x, y) называется выражение

 

Определение. Градиентом функции z = z (x, y) называется вектор

 

Найти частные производные и (или и ) функции

Решение.

2.68. Найти и :

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2.69. Найти дифференциал функции z в точке М(–2; 1):

1) если

2) если

2.70. Найти градиент и линию уровня функции в точке Р, сделать рисунок:

1) 2)

3) 4)

2.71. Найти модуль градиента функции:

1) в точке А (1; –2; 0);

2) в точке А (0; 1; –2).

Найти частные производные второго порядка функции
z = x 2 y 3 + 2 y.

Решение.

= = = 2 y 3 = 2 y 3,

=== 2 х = 6 xy 2,

== =3y 2 = 6 xy 2,

== = 3х 2 = 6 x 2 y.

2.72. Найти частные производные второго порядка :

1) 2)

3) 4)

2.73. Доказать, что если то

Схема исследования функции z = z (x, y) на экстремум:

1. Найти частные производные , и решить систему уравнений

Решениями системы будут критические точки функции.

2. Найти частные производные 2-го порядка.

3. Для каждой критической точки вычислить определитель

Если ∆ > 0, то критическая точка является точкой максимума/минимума функции при условии < 0/ > 0.

Если ∆ < 0, то критическая точка не является точкой экстремума.

Если ∆ = 0, то требуется дополнительное исследование (изучается вопрос о знакопостоянстве функции в окрестности критической точки).

4. Вычислить экстремумы функции, подставив координаты точек экстремумов в уравнение z = z (x, y).




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-10-15; Просмотров: 339; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.