Непрерывность функции. Точки разрыва

Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа.

Определение 7. Функция называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке х₀ (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

.

Пример. Исследовать непрерывность в точке х=0 следующих функций:

1. . В точке х=0 эта функция не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности – существование .

2. В точке х=0 функция не является непрерывной, несмотря на то, что выполнено первое условие (). Нарушено второе условие – отсутствует (точнее говоря, существуют односторонние пределы слева и справа, не равные друг другу, но общего предела не существует).

3. Первые два условия непрерывности выполнены, но нарушено третье основное условие:

4. . Все три условия непрерывности выполнены. Эта функция непрерывна в точке х=0.

Определение непрерывности функции в точке может быть записано и так:

,

т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.

Если функция непрерывна в каждой точке интервала (а; в), то она называется непрерывной на этом интервале.

Точка называется точкой разрыва функции, если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы слева и справа, не равные друг другу) и второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева и справа равен бесконечности или не существует).Так, в рассмотренном выше примере в п.2 точка =0 является разрывом первого рода, а в п.1. – разрывом второго рода. К точкам разрыва первого рода относятся так же точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке. Так, точка =0 в п.3. примера является точкой устранимого разрыва.

Дата добавления: 2014-10-17