Поняття множини. Поняття множини, як поняття точки, прямої, площини належить до фундаментальних понять математики

Поняття множини, як поняття точки, прямої, площини належить до фундаментальних понять математики. Його не можна означити точно. Тому, як правило, наслідуючи Кантора, йому дають описове означення:

О з н а ч е н н я 1.1. "Довільне зібрання певних предметів нашої інтуїції чи інтелекту, які можна відрізнити один від одного і які уявляються як єдине ціле, називається множиною. Предмети, які входять до складу множини, називаються її елементами ".

Отже, множину будемо розуміти як деяку сукупність якихось предметів (елементів множини), які можна відрізнити один від одного. Суттєвим також є те, що множину Кантор розглядає як єдине ціле, як один предмет. Таке означення характерне ще і тим, що ніяк не обмежує природу елементів множини. Тому множину можуть складати числа, точки, вектори, люди, планети і т. ін. З канторівського означення випливає, що множина повністю характеризується своїми елементами. Проте це означення Кантора, як з’ясувалось пізніше, має в собі багато суперечностей. Найбільш відома з них розкрита Бертраном Расселом (1902 р.), яка потрясла самі основи теорії множин Кантора. Суть її ї полягає у наступному. Нехай A – сукупність всіх множин, які не є елементами самих себе (наприклад, множина планет не є планетою, тобто ця множина є елементом A). Тоді кожне з висловлювань:

” A Î A ” і ” A Ï A ” є суперечливим (тут знаки – "належить" і – "не належить"). Виправленню цієї неблагополучної ситуації допомогла аксиоматизація теорії множин. У 1908 році математики Цермело і Френкель побудували систему аксіом, яка дозволила надати необхідне обгрунтування теорії множин.

Зауважимо, що система аксіом Цермело – Френкеля є невизначеною, тобто в цій аксіоматиці існують твердження, які не можна ні довести, ні спростувати, наприклад, знаменита континуум – гіпотеза.

Дата добавления: 2014-10-17