КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тема 4 Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
Выберем внутри покоящейся жидкости параллелепипед с рёбрами, параллельными координатным осям 0x, 0y, 0z и равными соответственно dx, dy и dz (рис. 7).
Рисунок 7 – К выводу дифференциального уравнения равновесия текучего тела
Составим уравнения равновесия этого параллелепипеда в виде уравнений проекций сил на координатные оси:
å Fx = 0; å Fy = 0; å Fz = 0
Проектируя силы на ось 0x имеем:
å Fx = dF – dF¢ + dG × cosa = 0, (4.1)
где dG – равнодействующая массовая (объёмная при r = const) сила; a, b, g – углы, образованные равнодействующей массовой силой dG с координатными осями 0x, 0y и 0z соответственно; dF и dF¢ – поверхностные силы, действующие на грани ABCD и A¢B¢C¢D¢. Поверхностные силы dF и dF¢ равны:
dF = р × dy × dz; (4.2)
dF¢ = р¢ × dy × dz,
где р и р¢ – средние гидростатические давления на площадки ABCD и A¢B¢C¢D¢ соответственно. Гидростатическое давление является функцией координат и при переходе от грани ABCD к грани A¢B¢C¢D¢ изменяется только координата x. Следовательно, можем записать:
р¢ = р + × dx,
и сила dF¢ равна
dF¢ = (р + × dx) × dy × dz. (4.3)
Проекция массовой силы равна:
dG × cosa = dm × j × cosa = r × d V × j × cosa = r × dx × dy × dz × j × cosa,
где j – ускорение массовой силы. Обозначим проекции ускорения внешней массовой силы на координатные оси 0x, 0y и 0z:
X = j × cosa;
Y = j × cosb;
Z = j × cosg.
Проекция массовой силы равна:
dG × cosa = r × dx × dy × dz × X. (4.4)
Подставляя в уравнение (4.1) уравнения (4.2), (4.3) и (4.4), запишем:
р × dy × dz – (р + × dx) × dy × dz + r × X × dx × dy × dz = 0.
Получаем уравнение проекций сил на ось 0x в виде:
– + r × X = 0.
Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси 0y и 0z. Система уравнений равновесия жидкости (уравнения гидростатики Эйлера) запишется в виде:
– + r × X = 0; – + r × Y = 0; (4.5)
– + r × Z = 0.
Таким образом, для равновесия массы жидкости необходимо, чтобы сумма всех внешних поверхностных и массовых сил, или их проекций на координатные оси равнялась нулю. Умножив каждое из уравнений (4.5) соответственно на dx, dy и dz и сложив, получим:
× dx + × dy + × dz = r × X × dx + r × Y × dy + r × Z × dz.
Так как давление р зависит только от трёх независимых переменных координат x, y, z, левая часть последнего уравнения представляет собой полный дифференциал функции р = f (x, y, z):
dp = × dx + × dy + × dz.
Тогда
dp = r × (X × dx + Y × dy + Z × dz). (4.6)
Уравнение (4.6) называется основнымдифференциальнымуравнениемгидростатики.
Дата добавления: 2014-10-17; Просмотров: 320; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |