Тема 3.2. Средние величины и показатели вариации

1. Средние величины: средняя арифметическая и средняя гармоническая

2. Показатели центра распределения: мода и медиана, метод их расчета

3. Понятие вариации признаков: размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонения, дисперсия и коэффициенты вариации

1. Средние величины: средняя арифметическая и средняя гармоническая

Все показатели вариации в зависимости от характеризуемых ими особенностей можно разделить на следующие группы:

ü показатели центра распределения – средняя арифметическая, мода и медиана;

ü показатели степени вариации - размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонения, дисперсия и коэффициенты вариации

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.

Определить среднюю во многих случаях удобнее через ее логическую формулу:

Суммарное значение или объем осредняемого признака

ИСС = -------------------------------------------------------------------------------------------------------

Число единиц или объем совокупности

Виды средних величин различаются, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным. Виды средних величин представлены в таблице 3.1

Таблица 3.1

Наименование средней	Формула средней величины	Когда используется
Средняя арифметическая простая (невзвешенная)	(13) где xi – i- й вариант осредняемого признака (); n – число вариант	Используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным
Средняя арифметическая взвешенная	(14) где fi – частота повторяемости i-го варианта	Используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок
Средняя гармоническая взвешенная	(15) где	Используется, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов
Средняя гармоническая невзвешенная	(16)	Используется в случае, когда веса равны
Средняя геометрическая невзвешенная	(17)	Используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста
Средняя геометрическая взвешенная	(18)
Средняя квадратическая невзвешенная	(19)	Используется при расчете показателей вариации
Средняя квадратическая взвешенная	(20)

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина – среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности. Средняя арифметическая величина может быть дробным числом, если даже индивидуальные значения признака могут принимать только целые значения.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака.

Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности.

При отсутствии возможности экспертной оценки значения признака в открытых интервалах, для нахождения недостающей границы открытого интервала применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала.

2. Показатели центра распределения: мода и медиана, метод их расчета

В отличие от средней арифметической, рассчитанной на основе использования всех вариантов значений признака, мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ряду распределения.

Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие.

В интервальном ряду распределения интервал с наибольшей частотой является модальным. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения (число единиц совокупности, приходящихся на единицу измерения варьирующего признака) достигает максимума. Это условное значение и считается модой. Логично предположить, что такая мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда получаем обычно применяемую формулу:

, (21)

где Мо – мода;

Х₀ – нижнее значение модального интервала;

f_Mo – частота в модальном интервале;

f_Mo-1 – частота в предыдущем интервале;

f_Mo+1 – частота в следующем интервале за модальным;

h – величина интервала.

В качестве характеристик вариационного ряда также применяется медиана, т.е. величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В упорядоченных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера. В интервальном ряду распределения для нахождения медианы применяется формула:

, (22)

где Ме – медиана;

X₀ – нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

h – величина (размах) интервала;

– накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;

f_Me – частота в медианном интервале.

Графически отобразить моду по гистограмме можно следующим образом: нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в угол последующего столбца, а из правого угла – в верхний правый угол предыдущего столбца, абсцисса точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности. Медиану приближенно можно определить графически - по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересесреднеечения и есть медиана (рис. 3.1)

Рис. 3.1 Графическое отображение интервального вариационного ряда

3. Понятие вариации признаков: размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонения, дисперсия и коэффициенты вариации

Вариацией называется изменяемость, колеблемость величины признака. Вариация проявляется в отклонениях от средних и зависит от множества факторов, влияющих на социально-экономическое явление. Вариация бывает случайной и систематической, существует в пространстве и во времени. Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные (таблица 3.2).

Таблица 3.2

	Показатель	Формула расчета показателя
Простой	Взвешенный
Абсолютные	Размах Вариации	(23)
Среднее линейное отклонение	(24)	(25)
Дисперсия	σ^2 (26)	(27)
Среднее квадратическое отклонение	(28)	(29)
Относительные	Коэффициент вариации	(30)
Линейный коэффициент вариации	(31)
Коэффициент осцилляции	(32)

Простейшим показателем является размах вариации – абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности значений. Поскольку величина размаха характеризует лишь максимальное различие значений признака, она не может измерять закономерную силу его вариации во всей совокупности. Предназначенный для данной цели показатель должен учитывать и обобщать все различия значений признака в совокупности без исключения. Поэтому целесообразно использовать следующие показатели вариации.

Среднее линейное отклонение – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант признака от их средней величины, ее формула имеет вид (24) – для несгруппированных данных и (25) – для сгруппированных данных.

Квадрат среднего квадратического отклонения представляет собой дисперсию отклонений, на использовании которой основаны практически все методы математической статистики, ее формула имеет вид (26) – для несгруппированных данных (простая дисперсия) и (27) – для сгруппированных данных (взвешенная дисперсия).

Среднее крадратическое отклонение рассчитывается как корень квадратный из дисперсии, ее формула имеет вид (28) – для несгруппированных данных и (29) – для сгруппированных данных.

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение – это именованные величины. Единицей измерения у них и у исходных значений признака совпадают. Дисперсия может быть задана в ед.² признака или в % отклонений.

Относительные показатели (коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции) строятся с учетом базы (в виде средней), выражаются в процентах и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации: .

Дата добавления: 2014-10-17